с задачей! Нужно найти через теорему косинусов. Доказывать теорему не нужно, просто решить задачу

∠BCD = 110°

Объяснение:

Пусть точка О = точка пересечения диагоналей АС и BD. Треугольники АОВ, AOD, ВОС и DOC - прямоугольные.

Пусть сторона АВ = d. Тогда в треугольнике АОВ сторона

АО = d·Sin60° (∠CAB = 30° - дано => ∠АВО = 60° по сумме острых углов прямоугольного треугольника). Итак,

АО = d·(√3/2).

В этом же треугольнике ОВ = d/2 (как катет против угла 30°).

В треугольнике ВОС угол ∠ВCО = 50° (90°- ∠DBC), тогда по теореме синусов ОС =  ОВ·Sin40/Sin50 = d·(Sin40/2·Sin50).

В прямоугольном треугольнике DAO  по теореме синусов

DО/Sin40 = AO/Sin50  =>  DO = AO·Sin40/Sin50 или

DO =  d·(√3/2)·Sin40/Sin50.

Тогда в треугольнике DOC тангенс угла ОСD равен

tg(∠OCD) = DO/OC = (d·(√3/2)·Sin40/Sin50)/(d·Sin40/2Sin50) = √3.

Итак, ∠OCD = arctg√3 = 60°.

∠BCA = 50° (по сумме острых углов треугольника ВОС).

Тогда ∠BCD = ∠OCD+<BCA = 60+50 = 110°.