Дано трикутну піраміду SABC. Точки К, L, М — середини ребер SA, SB, SC відповідно. а) Яке взаємне розміщення прямої KL та площини ABC? б) Яке взаємне розміщення площин KLM та АВС? в) Яке взаємне розміщення площин ABC та KLS?

  ВС|║АD,  АВ - секущая. ⇒  сумма внутренних односторонних углов  равна 180°.  Биссектрисы делят углы пополам.⇒   из суммы углов треугольника угол ВОА=180°- 0,5•(∠АВС+∠ BAD)=90°,

 Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник ( для доказательства рассмотри накрестлежащие углы при секущих ВN и АМ) ⇒ ВМ=АВ, АN=AB ⇒ ВМ=АN. В ∆ ВМN  отрезок ВО=ОN (т.к.в ∆ АВМ АО - медиана),⇒ МО - медиана и высота ( угол ВОМ =90° как смежный углу ВОА) ⇒ треугольник ВМN – равнобедренный и МN =ВМ   Противоположные стороны четырехугольника АВMN  равны и параллельны ( лежат на параллельных прямых), следовательно, АВMN– параллелограмм по определению. Кроме того,  этот четырехугольник  - ромб, т.к. все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикуляры и являются биссектрисами его углов. .