В выпуклом четырёхугольнике MPKT диагональ TP является биссектрисой угла MTK и пересекается с диагональю MK в точке A. Найдите AP, если известно, что около четырёхугольника MPKT можно описать окружность, МР=16, АТ=24.

ответ: АР=8

Объяснение (подробно):

ТР - биссектриса ⇒ ∠КТР=∠РТМ.

Т.к. около четырехугольника описана окружность, все углы, вершины которых лежат на ней, -вписанные. Вписанные  углы, которые опираются на одну дугу,  равны; равны и хорды, которые стягивают равные дуги.

 Угол РМК опирается на дугу РК,  и угол КТР опираются на дугу КР,  следовательно они равны. Но им равен и угол РТМ , следовательно, равны хорды КР=РМ=16.

Примем АР=х. Тогда ТР=ТА+х=24+х

Рассмотрим ∆ ТКР и АКР. Они имеют по два равных угла, следовательно, подобны. Из их подобия следует отношение ТР:КР=КР:АР ⇒

(24+х):16=16:х

Из пропорции получаем 14х+х²=256 ⇒ х²+24х-256. Решив квадратное уравнение находим х₁=8; х₂=-32 ( не подходит).

АР=х=8.