Паралельні прямі a i b перетинають сторону OA кута AOB в точках N i C, а сторону OB - у точках M i K, починаючи від вершини. Знайдіть довжину відрізка NC, якщо OM = 3 м, OK = 15 m, ON = 4 m.​

BM - медиана треугольника  (см. рис) . На сторонах BCи AC выбрано точки P и K так , что  BP:PC = MK:KC=2:1  (=2). Найти площадь четырехугольника MBPK , если площадь  треугольника  ABC равно  54 см²  .

Дано:  ΔABC

AM =CM   = AC/2    ( BM _медиана)

P ∈ [BC]  , K∈ [AC]

BP/PC=MK/KC=2

S (ΔABC) = 54 см²

- - - - - - - - - - - - - -

S(MBPK) -?

S(MBPK) = S(ΔBCM) - S(ΔPCK) = S(ΔABC)/2  -  S(ΔPCK.

* * *  S(ΔBCM) =S(ΔBAM) = (1/2)S(ΔABC) ,  т.к.  AM =CM =AC/2 * * *

BP/PC=MK/ KC  ⇒  BP/PC  + 1 =MK/ KC +1         (=2+1 =3)  ⇔

(BP+PC)/PC = (MK+KC) / KC ⇔   BC / PC = MC / KC  = 3  .    ||  k =3 ||

* * * BP/PC =2   ⇔ BP/PC + 1 =3 ⇔ ( BP+PC)/PC =BC/ PC  = 3 * * *

Следовательно:   ΔBCM ~ ΔPCK ( по второму признаку подобия )

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

* * * Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны. * * *

следовательно  :

S (ΔBCM) /S(ΔPCK) = (BC / PC)² ⇔ S (ΔBCM) /S(ΔPCK) = 9     || k² ||

S(ΔPCK)  = S (ΔBCM) / 9   = S (ΔABC) / 18

Окончательно :

S(MBPK) = S(ΔABC)/2 - S(ΔPCK =S(ΔABC)/2  - S (ΔABC) / 18 =

= (4/9)*S(ΔABC)   =  (4/9)*54 см²  =24  см²

ответ : 24  см²