В треугольнике АВС: СН и ВМ высоты. Вычислите площадь треугольника АВС, если АВ=5 см, СН=4 см, АС=16 см, ВМ=2, 5 см.​

Чтобы вычислить площадь треугольника АВС, можно воспользоваться формулой Герона. Но сначала нам понадобится найти длину третьей стороны треугольника.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В данном случае треугольник АВС не является прямоугольным, но поскольку СН и ВМ являются высотами, они вместе с АС образуют прямоугольный треугольник СНМ.

Находим длину стороны НМ прямоугольного треугольника СНМ с помощью теоремы Пифагора:
НМ² = СН² - ВМ²
НМ² = 4² - 2,5²
НМ² = 16 - 6,25
НМ² = 9,75
НМ ≈ √9,75
НМ ≈ 3,12 см

Теперь, имея длины всех сторон треугольника АВС (АВ = 5 см, АС = 16 см, НМ = 3,12 см), мы можем вычислить площадь треугольника по формуле Герона.

Формула Герона для вычисления площади треугольника:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

Где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2).

Вычисляем полупериметр треугольника:
p = (5 + 16 + 3,12)/2
p = 12,56

Теперь, подставляем значения в формулу Герона:
S = √(12,56 * (12,56 - 5) * (12,56 - 16) * (12,56 - 3,12))
S = √(12,56 * 7,56 * -3,44 * 9,44)
S = √196,184
S ≈ 13,98 см²

Таким образом, площадь треугольника АВС равна примерно 13,98 см².