Дан равнобедренный треугольник MВN с основанием MN и высотой BO. На лучах ВM и ВN вне треугольника MВN отложены равные отрезки МA и NC. Луч BO пересекает отрезок AC в точке D. Доказать, что ВD – высота треугольника ABC. ​

Заметим, что

CHB = 180o- BAC = 180o-60o = 120o.

Пусть CC1 и BB1 — высоты треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников CC1B и BB1C находим, что

BCH = 90o- ABC = 90o-50o = 40o, CBH = CBB1=90o-70o=20o.

Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC , поэтому

COB = 2 BAC = 2· 60o = 120o, OCB= OBC = 30o,

значит,

OCH = BCH - BCO = 40o- 30o = 10o.

Из точек H и O , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом ( 120o ), значит, точки B , O , H и C лежат на одной окружности. Следовательно,

COH = CBH = 90o- 70o= 20o,

CHO = 180o - OCH - COH = 180o-10o-20o=150o.