1. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить один із катетів на відрізки завдовжки 15 см і 25 см. Знайдіть периметр трикутника. 2. У трикутнику АВС відомо, що АС = 13 см, ВС = 20 см, а висота CD дорівнює 12 см. Знайдіть сторону, АВ трикутника. 3. Медіани BF i CN трикутника ABC дорівнюють 27 см і 36 см відповідно, а кут між ними дорівнює 90°. Знайдіть медіану АР.

а) АВСD - квадрат, -- АD⊥АВ. По условию АD⊥АF. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости, ⇒

АD перпендикулярна плоскости АВЕФ. 

ВС||АВ. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости. 

б) АD лежит в плоскости АВСD, ВF не лежит в ней и пересекает в т. В, не принадлежащей АD. 

Если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой, то эти прямые - скрещивающиеся. 

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. 

 Проведем из т.А прямую АК||ВF. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну 

АВ перпендикулярна плоскости АВЕF, следовательно, перпендикулярна любой прямой, проходящей в этой плоскости через А. ⇒АD⊥ВF и угол между ними равен 90°.