в треугольнике ABC высота BD равна 4 см, угол A равен 30 градусов, угол C равен 45 градусов. найдите площадь треугольника ABC.

1) Пусть ΔАВС - равнобедренный, АВ=ВС=20 см, АС=5 см. Проведём биссектрису AF и высоту ВН.
2) По свойству биссектрисы
BF/FC=AB/AC=20/5=4;
BF/FC=4;
BF=4FC;
FC=x, BF=4x;
BC=BF+FC=4x+x=5x=5FC.
20=5FC;
FC=20/5=4 (cм).
3) Рассмотрим ΔВНС - прямоугольный, ВС=20 см, НС=1/2НС=1/2*5=5/2 (см).
cosC=HC/BC=5/2:20=5/2*1/20=1/8.
4) Рассмотрим ΔAFC, по т.косинусов находим биссектрису AF:
AF²=AC²+FC²-2*AC*FC*cosC;
AF²=5²+4²-2*5*4*1/8=25+16-5=36;
AF=6 (cм).
ответ: 6 см.

Биссектрису треугольника можно еще найти по формуле:
, где a, b, c - стороны треугольника.