На стороне BC треугольника ABC отмечены точки P и Q такие, что BP=PQ=QC. К стороне BC в точке P восстановлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Оказалось, что площадь треугольника AQK в 4, 5 раза меньше площади треугольника ABC. Докажите, что AB=AC.

Відповідь:

1) Р= 28 см

2)АВ=ВС=28см, ас=24см

3)∠АСВ=60°

Пояснення:

1) За властивістю дотичних , проведених з однієї точки до кола:

АМ=АЕ=8 см

КС=ЕС=4 см

ВМ=ВК=2 см

АВ=8+2=10 (см), ВС= 2+4=6(см), АС=8+4=12( см)

Р= 10+6+12=28 (см)

2) так як ΔАВС- рівнобедренний, то АВ=ВС,

Нехай ВМ=4х, АМ=3х, тоді

За властивостями дотичної, проведеної до кола з однієї точки:

ВМ=ВД=4х,

АМ=АК=3х, так як АВ=ВС, то СД=КС=3х

Р=7х+7х+6х;

20х=80;

х=80:20;

х=4см

АВ=ВС=7х=7*4см=28см

АС=6х=6*4см=24 см

3) Розглянемо чотирикутник АСВО.

Сума кутів чотирикутника 360°, тому

120°+90°+90°+∠АСВ=360°

∠АСВ=360°-300°=60°.