Доказать что угол В =углу С ​

  Вы, возможно,  ошиблись в условии, и нужно найти площадь треугольника АВС, а не АВD?

Иначе для чего дана длина стороны ВС и отрезка DС? Сделаем рисунок к задаче.

Рассмотрим ⊿ ВDС.

Катет ВD=12 см, гипотенуза ВС=13 см.
С отрезком DС основания они составляют "египетский" треугольник, поэтому этот отрезок равен 5 см.
Треугольник АВD - также прямоугольный, а так как угол А=45°, он и равнобедренный.

Отрезок АD основания равен высоте ВD=12 см
Основание АС треугольника АВС равно
АС=АD+DС=12+5=17 см
S ᐃ АВС=ВD·АС⠰2=102 см²