) Прямая делит одну сторону треугольника пополам, а другую — в отношении 2 ∶ 1, считая от их общей вершины. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника?

Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понимание задачи
Возьмем треугольник ABC, где AB и AC - стороны, а точка D является точкой пересечения прямой, делящей стороны AB пополам, и другой стороны AC в отношении 2:1.

Шаг 2: Поиск отношения деления сторон треугольника
Поскольку прямая делит сторону треугольника AB пополам, то отрезок AD будет равен отрезку DB. Пусть отрезок AD равен х, тогда отрезок DB также будет равен х.

С другой стороны, прямая делит сторону AC в отношении 2:1. Значит, отрезок AD будет в 2 раза короче отрезка DC или отрезок DC будет в два раза длиннее отрезка AD. Пусть отрезок DC равен 2у, тогда отрезок AD будет равен у.

Итак, у нас есть:
AD = х
DB = х
DC = 2у
AD = у

Шаг 3: Поиск отношения площадей треугольников
Теперь, нам нужно определить, в каком отношении прямая делит площадь треугольника.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле: S = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC).

Так как BD делит AB пополам, а DC делит AC в отношении 2:1, можно сказать, что площадь треугольников ABD и ADC, образованных этой прямой, относятся как AD:DB и AD:DC.

Таким образом, площадь треугольника ADC будет в два раза больше площади треугольника ABD.

S_ADC = 2 * S_ABD.

То есть, прямая делит площадь треугольника в отношении 2:1.