Знайдіть площу кожного із сегментів що лежить поза вписаного у коло радіус R правильним n кутником якщо

Геометрия

Ответить

Ответы

Veselova

11.10.2022

Дано:

ΔABC, ∠B = 90°.

Вписанная окружность с центром O и радиусом OD = OE = OF,

D∈BC, E∈AC, F∈AB.

OE = 12 (см), EC = 8 (см).

Найти:

$S_{\triangle ABC} = ?$

Заметим, что AE=AF=12 и CE=CD=8 (так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны).

Пусть OD=OE=OF=r .

Тогда $\square BDOF$ - квадрат, так как $\angle B = \angle D = \angle F = 90 \textdegree$ (и, значит, $\angle O = 360 \textdegree - 3 \cdot 90 \textdegree = 90 \textdegree$ ), а также OD=FB , OF=DB и OF=OD . - Все стороны и углы данного четырехугольника равны.

Значит, BD=BF=r .

Тогда катеты треугольника AB=12+r и BC=8+r , а гипотенуза равна AC=12+8=20 .

По тереме Пифагора:

(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2

$(12+r)^2+(8+r)^2=20^2\\144+24r+r^2+64+16r+r^2 = 400\\208+40r + 2r^2=400\\2r^2+40r = 192\\r^2+20r-96=0\\\left[\begin{array}{ccc}r_1=4\\r_2=-24\end{array}\right$