1)четырёхугольник abcd вписан в окружность. угол abc равен 110°, угол abd равен 70°. найдите угол cad.

110-70=40.

 

Для доказательства используем теорему о трилистнике, которая гласит, что если биссектриса угла а треугольника авс пересекает окружность в точке y и точка i - центр вписанной в  δавс окружности, то yb=yi=yc.  обозначим углы ваi и саi как α, а углы авi и свi как β. вписанные углы yaс и ybс равны α  т.к. опираются на одну  дугу. ∠biy - внешний треугольника авi, значит  ∠biy=∠вai+∠авi=α+β. в треугольнике вyi  ∠yвi=∠biy=α+β, значит он равнобедренный. yb=yi. ∠вyx=∠ayx так как они опираются на равные дуги вх и ах, значит yx - биссектриса равнобедренного тр-ка вyi, значит yx⊥bi и bo=oi. треугольники кво и lbo равны так как во - общая сторона и прилежащие к ней углы  β и 90° равны, значит ко=оl. в четырёхугольнике вkil диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, значит вkil - ромб. доказано.

Решение

все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (египетский треугольник). в любом треугольнике  2r< hb  a  , т.е. диаметр вписанной в треугольник окружности меньше всех его сторон. пусть  2r  ,  a  ,  b  и  c  образуют возрастающую арифметическую прогрессию с разностьюd> 0  . ясно, что  a=2r+d  ,  b=2r+2d  ,  c=2r+3d  и  p==3r+3d  . поскольку в любом треугольнике  s=pr  и  s=  , то  pr=  или  pr2=(p-a)(p-b)(p-c)  . выразив в данном равенстве все величины через  r  и  d  получим 

(3r+3d)r2=(r+2d)(r+d)r, откуда  3r=r+2 d  , т.е.  r=d  , так как  r> 0  ,  r+d> 0  . следовательно, стороны равны  3 r  ,  4 r  ,  5 r  .  ответ

все треугольники, длины сторон которых пропорциональны 3, 4 и 5 (египетский треугольник).