Медианы nd и me треугольника mnk пересекаются в точке s.найдите стороны mn и nk треугольника mnk, если me=12дм, nd= 9дм и угол msn равен 90 градусов​

ответ: mn/mk=ne/ke u ne=ke. me-медиана⇒mn/mk=1⇒mn=mk mn/nk=md/kd u md=kd,nd-медиана⇒mn/nk=1⇒mn=nk. δmnk-равносторонний⇒ns/sd=2/1⇒ns=6 u ms/se=2/1⇒ms=8

пусть c и c′ - длины окружностей радиусов r и r′. впишем в окружности правильные многоугольники.

pn  и pn′ - их периметры, an  и an′ - стороны.

pn  = n • an  = n • 2r • sin

pn′ = n • an  = n • 2r′ • sin

тогда 

зная, что периметры pn  и pn′ - приближенные значения длин окружностей c и c′, при n →∞, получаем

   

но в силу равенства  получаем 

по свойству пропорции 

значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.

формула длины окружности:

***

 

124.

если известен радиус r = 4, то длина окружности c = 2πr = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

если c = 82, то радиус окружности r ==  = 13,1

если c = 18π, то радиус окружности r ==  = 9

***

 

125.

дано:

a - сторона правильного треугольника

 

найдите: длину описанной окружности

решение:

т.к.  сторона правильного многоугольника

an  = 2r • sin тогда сторона правильного треугольника

a = r    r = 

тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна c = 2πr = 

***

 

вывод формулы для вычисления дуги l с градусной мерой α.

градусная мера окружности 360°,

длина окружности c = 2πr

длина дуги в 1° равна 

 

 

тогда  длина дуги окружности в α градусах:

 

 

 

***

 

126.

дано:

радиус r= 6 см,

угол дуги

1) α = 30°2) α = 45°3) α = 60°4) α = 90°

 

найти: длину дуги окружности

решение:

1) l =  • 30° =  • 30° = π (см)

2) l =  • 45° =  • 3 = 1,5π (см)

3) l =  • 60° = 2π (см)

4) l =  • 90° = 3π (см)

***

 

127.

дано:

abcdef - правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника s6  = 24  см2

 

найти: чему равна длина описанной окружности c = ?

решение:

c = 2πr

значит, нужно найти радиус описанной окружности.

площадь шестиугольника определяется по формуле

s6  =  • p6  • r6

радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6  = r • cos    =  • r

сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6  = r

тогда периметр шестиугольника p6  = 6 • a6  = 6r (см)

s6  =  • p6  • r6  =  • 6r •  • r = 1,5•r2

24= 1,5•r2

r2  =  = 16    получаем радиус описанной окружности

r =  = 4 (см)

тогда длина описанной окружности равна

c = 2πr = 2π • 4 = 8π (см)

ответ: 8π см.

***

 

128.

дано:

abcd - квадрат,

сторона квадрата ab = a

 

найти: длину вписанной окружности c = 2π • r = ?

решение:

r4  = r • cos    = r • cos 45° =  r

c = 2π • r = 2π •  r = π • r

ab = a = 2r = r. значит, c = π • r= π • a

ответ: длина окружности, вписанной в квадрат c = π • a

***

 

129.

дано: окружность (o; r) – описанная около следующих фигур

1) δ abc – вписанный прямоугольный треугольник;

a, b – катеты

2) δ abc – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) abcd – вписанный прямоугольник,

bc = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

 

найти: длину описанной окружности c = 2πr = ?

решение:

1)

2r = ab    r =  ab

ab = 

тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

c = 2π •    •  = π

 

2)

bh =  = 

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

sδabc  =  bh • ac =    (1)

но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

sδabc  =    =    (2)

 

используя равенства (1) и (2), получаем

=    r = 

Проведём высоты ср и дм к основанию ав. дм=ср. ам+вр=ав-мр=ав-сд=27-18=9 см. пусть ам=х, тогда вр=9-х. в тр-ке адм дм²=ад²-ам²=9-х². в тр-ке вср ср²=вс²-вр²=(6√2)²-(9-х)²=72-81+18х-х²=18х-9-х². 9-х²=18х-9-х², 18х=18, х=1. ам=1 см. дм²=9-1=8, дм=2√2 см. к основаниям трапеции через точку к проведём перпендикуляр нт. нт=дм. по свойству трапеции треугольники акв и скд подобны, значит ав/сд=тк/нк. пусть тк=у, тогда нк=2√2-у. 27/18=у/(2√2-у), 54√2-27у=18у, 45у=54√2, у=1.2√2. тк=1.2√2 см. s(авд)=ав·дм/2=27·2√2/2=27√2 см². s(акв)=ав·тк/2=27·1.2√2/2=16.2√2 см². s(акд)=s(авд)-s(акв)=27√2-16.2√2=10.8√2 см² - это ответ.