Плис 8 і 9 завдання ну і можно 7 завдання якщо хочете ( за 7 поставлю оцінку) пліс

В равностороннем треугольнике АВС со стороной, равной √3, проведены три биссектрисы : AM, BH, CK. Найдите периметр треугольника ALH.

- - -

Дано :

ΔАВС - правильный (равносторонний).

АВ = √3.

АМ, ВН, СК - биссектрисы.

АМ ∩ ВН ∩ СК = L.

Найти :

Р(ΔALH) = ?

АВ = ВС = АС = √3 (по определению равностороннего треугольника).

В правильном треугольнике все его биссектрисы являются медианами и высотами.

Соответственно, по определению медианы треугольника -

АН = НС =

Рассмотрим ΔALH - прямоугольный (так как ∠AHL= 90° по определению высоты).

В равностороннем треугольнике все углы равны по 60°.

То есть ∠А = 60°.

По определению биссектрисы треугольника -

∠ВАМ = ∠МАС = 60°/2 = 30°.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника -

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузе.

Отсюда -

LH = 0,5*AL = 1*0,5 = 0,5.

Периметр - это сумма длин всех сторон.

Отсюда -

Р(ΔALH) = LH + AL + AH =

(ед).

Рассмотрим отрезки, на которые делится сторона CD. Эту сторону можно представить как сумму CM + MD и как сумму CE + ED.

MD = 7/10CD (CM/MD = 3/7 ⇒ MD/(CM + MD) = 7/(3 + 7) = 7/10)

ED = 1/2CD (так как средняя линия делит сторону CD пополам)

ME = 7/10CD - 1/2CD = 7/10CD - 5/10CD = 2/10 CD

Так как мы выразили и отрезок ME, и отрезок MD через сторону CD, можно найти отношение этих отрезков друг к другу. ME/MD = 2/10 : 7/10 = 2 : 7.

Рассмотрим ΔMOE и ΔMAD. У них есть общий угол (∠AMD), а также равные углы ∠MEO и ∠MDA (соответственные при FE ║ AD – они параллельны, так как средняя линия трапеции всегда параллельна её основаниям), равные углы ∠MOE и ∠MAD (также соответственные при FE ║ AD). Таким образом, ΔMOE ~ ΔMAD по трём углам.

В подобных треугольниках соответствующие стороны относятся друг к другу в одинаковых пропорциях. Мы знаем это отношение – 2 : 7, так относятся друг к другу стороны ME малого треугольника и MD большого.  Зная сторону AD, мы можем найти и сторону OE.

OE/AD = 2/7

OE/70 = 2/7

OE = 20

Средняя линия трапеции всегда равна половине суммы её оснований.

FE = (BC + AD) : 2 = (20 + 70) : 2 = 90 : 2 = 45.

Зная длину FE и её части отрезка OE, мы можем найти отрезок FO.

FO = FE - OE = 45 - 20 = 25.

ответ: 20 и 25 сантиметров.