На сторонах ab і ac трикутника abc, зображеного на рисунку, позначили точки m і k так, що am=2/9ac, ak=2/9ab. знайдіть сторону bc, якщо mk=18 см. ​

ответ:

81 см²

объяснение:

по умові:

am = 2/9 * ac

ak = 2/9 * ab

розглянемо δamk і δabc:

∠a - спільний

am = 2/9 * ac

ak = 2/9 * ab

один кут рівний і пропорційні дві прилеглі до нього сторони. це ознака подібності трикутників:

δamk ~ δacb (k = 2/9)

тоді:

mk = bc * k = bc * 2/9

bc = mk / (2/9) = 18 / (2/9) = (18 * 9) / 2 = 9 * 9 = 81

відповідь: 81 см²

1)дан прямоугольный треугольник авс: угол с-прямой. медиана прямоугольного треугольника равна радиусу описанной окружности, а гипотенуза - диаметр этой окружности. поэтому гипотенуза ав=26 см. ав+вс+ас=60, тогда ав+вс=60-26=34. пусть ав=х, тогда вс=34-х по теореме пифагора  х²+(34-х)²=26² х²-34х+240=0, d=b²-4ac=(-34)²-4·240=196=14² x₁=(34+14)/2      х₂=(34-14)/2 х₁=24                  х₂=10 тогда другой катет соответственно 34-24=10 или 34-10=24

Попробуем координатный метод стартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, и из точки (15; 0) влево вверх сторона 13 координата третей вершины найдётся из системы x^2+y^2=14^2 (x-15)^2+y^2=13^2 вычтем из второго первое x^2 + y^2 = 196x^2 + y^2 -  30 x  = -56 30х = 252 x = 42/5 y^2 = 196 - (42/5)^2  = 3136/25 y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нужен y = 56/5 итак, три вершины а(0; 0) в(15; 0) с(8.4; 11.2) начнём с медиан. медиана из вершины а  пересекает сторону вс в точке 1/2((15; 0)+(8.4; 11.2)) = (11.7; 5.6) уравнение этой медианы y = 5.6/11.7 x медиана из вершины в    пересекает сторону ас в точке 1/2((0; 0)+(8.4; 11.2)) = (4.2; 5.6) y=kx+b 5.6=4.2k+b 0=15k+b k = -14/27 b = 70/9 y=-14/27x+70/9 и точка пересечения медиан найдётся из решения системы y = 5.6/11.7x  y=-14/27x+70/9 x =  39/5 y =  56/15 точка пересечения медиан  м(39/5; 56/15 )теперь высотыпроще всего с вертикальной. её уравнение x=8.4 уравнение прямой всв(15; 0) с(8.4; 11.2) y=kx+b 11.2=8.4k+b 0=15k+b k = -56/33 b = 280/11 y  =  -56/33x  +  280/11 собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне bc в уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равен k₁ = -1/k = 33/56 а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координат y = 33/56x x  =  8.4 решение  x =  42/5, y =  99/20 это координаты точки пересечения высотh(42/5; 99/20 )теперь биссектрисыуравнение стороны асy=11.2/8.4x=4/3x координата точки на расстоянии 1 от начала координат будет  y^2+x^2=1^2 16/9x^2+x^2 = 1 x=+-3/5, отрицательный корень не нужен x=3/5 y=4/5 единичный вектор по стороне ав будет иметь координаты (1; 0) среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе 1/2((3/5; 4/5)+(1; 0)) = 1/2(8/5; 4/5) = (4/5; 2/5) уравнение биссектрисы из точки а  y=1/2x уравнение прямой вс было в прошлом пункте y  =  -56/33x  +  280/11 единичный вектор от точки в(15; 0) к точке с(8.4; 11.2) y^2+(x-15)^2=1^2 (-56/33x  +  280/11)^2+(x-15)^2=1 (4225 (x - 15)^2)/1089 = 1два решения  x₁   = 942/65x₂   = 1008/65 - второй корень, от точки с, нам не нуженx  = 942/65 y =  -56/33x  +  280/11  =  -56/33*942/65  +  280/11  = 56/65 единичный вектор от в к с (942/65; 56/65) единичный вектор от в к a (14; 0) их среднее арифметическое (926/65; 28/65) это вторая точка биссектрисы из угла в(15; 0) 28/65=k926/65+b 0=15k+b k = -4/7 b =  60/7 y  =  -4/7x  +  60/7 решаем совместно с  y=1/2x точка пересечения x = 8 y = 4 и это точка пересечения биссектрис l(8; 4) м(39/5; 56/15) h(42/5; 99/20) l(8; 4) площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методы s=((39/5-8)(99/20-/15-4)(42/5-8))/2 = -1/24