Цилиндр вписан в прямую треугольную призму стороны, основания которой равны 13, 14 и 15см, а высота равна 20см.вычислить полощадь осевого сечения цилиндра.

то есть основание призмы вписанно в треугольник

находим радиус окружности

  r=√((p-a)(p-b)(p-c)/p),

гда p=(a+b+c)/2

для нашего случая

      р=(13+14+15)/2=21

тогда

    r=√((21-13)(21-14)(21-15)/21)=√(8*7*6/21)=√16=4

d=2r=2*4=8

s=d*h=8*20=160

Обозначим сторону основания а, а высоту призмы h. тогда sп.п  =  4ah+ 2a^2   h=  √81 - 2a^2   имеем 144 = 4a√81 - 2a^2 + 2a^2   или, возведя в квадрат и перенеся в одну сторону,  получим: 36a^4 - 1872a^2 + 20736 = 0 разделив на 36 и обозначив a^2 =  t имеем t^2 - 52t + 576 =0 корни этого уравнения 16 и 36. следовательно имеем два решения. первая призма имеет сторону основания 4 и высоту 7. второй вариант, основание 6 см, высота 3см  оба варианта удовлетворяют условию.

Высота пирамиды - h = 8 * sin60 =8*√3/2=4√3 сторона основания - а, определится через диагональ основания = 8*cos60*2=8*0,5*2=8. a = 8/√2 1) площадь боковой поверхности s = 4s = 4(а * апофему)/2 апофема =√ [(a/2)²+h²]=√[(4/√2)²+(4√3)²=√(8+16/3). s = 2*(8/√2)*√(8+16/3) 2) объем v = sоснования*h/3 = a²h/3 = (8/√2)²4√3/3 = 128/3√3 3) для определения угла между гранями выполним вертикальное сечение пирамиды. в сечении получим равнобедренный треугольник со стороной равной апофеме и основанием а. α = 2 arcsin (8/2√2)/√(8+16/3)