Вравнобедренном треугольнике авс (ав=вс) точки м и n - середины сторон ав и вс, sin угла вас = 4/5. найти радиус окружности, вписанной в треугольник мвn, если ав = 10

в тр-ке авс боковая сторона ав=10, высота н=ав*sina=10*4/5=8

основание ас = 2√10²-8²= 2√36= 12

тр-к мвn - подобен данному, и все его элементы в 2 раза меньше, чем у большого.

радиус вписанной окружности найдем из пропорциональности подобных прямоугольных треугольников мвк и вое: (mn/2)/r = mb/(h-r)

3/r = 5/4-r)

5r = 3*4 - 3r

8r = 12

  r = 1,5

              ав=77+8=85, ав=85                 треуг. авн:     вн²=ав²-ан²=85²-77²=1296 ,  вн=36 - высота ромба                                                                                 s=ad * bh=85*36=3060

Верные утверждения 1)  4)   5)

Объяснение:

1) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать  с одной из его сторон - верное утверждение, так как две из трёх высот треугольника совпадают с его катетами

2) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной около этого треугольника - неверное утверждение, так как центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

4) Высота может лежать и вне треугольника - верное утверждение, так как высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, опускаются на продолжения сторон, образующих тупой угол.

5) Треугольник со сторонами 6,8,10 - прямоугольный - верное утверждение, так как для сторон этого треугольника выполняется теорема Пифагора: 10² = 6² + 8² ⇒ 100 = 36 + 64  ⇒ 100 ≡ 100

6) Существует треугольник со сторонами 6, 8, 15 - неверное утверждение, так как в этом случае не выполняется неравенство треугольника: длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон, а в данном утверждении 6+8<15