Периметр правильного треугольника вписанного в окружность равен 12. найдите периметр квадрата описанного около той же окружности

сторона правильного треугольника равна

a=p: 3=12: 3=4;

радиус описанной вокруг треугольника окружности равен

сторона квадрата через радиус вписанной окружности равна

периметр квадрата равен

в телах, "подобных" друг другу (то есть, когда одно получается из другого пропорциональным изменением масштабов), объём пропорционален кубу линейного размера.

поэтому объем малого и большого конусов относятся, как (r/r)^3, а объем усеченного конуса составляет 1-(r/r)^3 от объема большого (у которого в основании r> r)

на самом деле, в этом очевидном решении легко навести "строгость".

высоты малого и большого конусов пропорциональны радиусам, а площади - квадратам радиусов. поэтому объем пропорционален радиусу в кубе. 

жаль, сканер недоступен :

итак, прямая, проходящая через центры, является осью симметрии. продолжим её до пересячения с внешними касательтными, точку пересячения обозначим с;

центр малой окружности о1, большой о2. "верхняя" (ну, та, что на чертеже выше, ось пусть горизонтальная) внешняя касательная касается малой окружности в точке m, большой - в точке n;

из центров окружностей в эти точки проводим радиусы, они, само собой, перпендикулярны этой касательной аn.

обозначим р точку пересечения оси с малой окружностью (вторую, первая, дальняя от с, по условию обозначена о), длинна сp = x;

кроме того, через точку m проводим до пересячения с о2n прямую, параллельную оси. точку пересечения обозначим к. 

угол между осью и внешней касательной обозначим ф

если вы нарисуете чертеж, то дальше все соотношения очевидны.

km = o1o2 = r+r; kn = r-r; mn = корень(km^2 - kn^2) = 2*корень(r*r)

kn/km = cos ф = mo1/co1 = r/(x+r);  

(r-r)/(r+r) = r/(x+r); x = 2*r^2/(r-r);

осталось заметить, что тр-к соа подобен тр-ку со1m и, само собой, co2n и mnk;

ao/co = tg ф; co = x+2*r;

на самом деле, уже решена, ав = 2*ао, осталось только всё сосчитать.

ao = (2*r + 2*r^2/(r-r))*(r-r)/(2*корень(r*r)) = корень(r*r);

столь сильное требует объяснения, но я его пока не нашел. получается, что искомое расстояние равно расстоянию между точками касания окружностей одной касательной (то есть ав = mn).

ответ ав = 2*корень(r*r) = 2*корень(15);  

 

! нашел элементарное ! пусть точки касания второй внешней касательной n1 и m1. рассмотрим трапецию nmm1n1. все отрезки, соединяющие о с вершинами этой трапеции, являются биссектрисами углов (это следует из равенства дуг, к примеру дуга on = дуга on1, поэтому угол onm = угол onn1, то есть оn - биссектриса). в трапеции все биссетрисы пересекаются в точке о, поэтому в неё можно вписать окружность, поэтому суммы противоположных сторон равны, а ав - средняя линяя в этой трапеции : поэтому она равна боковой строне этой (равнобедренной) трапеции, то есть ав=mn :

мn находится элементарно из прямоугольного тр-ка mnk.

всё