Втреугольнике авс проведены биссектриса ак и отрезок мк, причем точка м лежит на стороне ас и мк параллельна ав. докажите, что треугольник амк - равнобедренный.

рассматриваем мк и ав с секущей ак. накрестлежащие углы вак и мка равны

следовательно треугольник амк равнобедренный, т к его углы кам и мка равны при основании 

авсd - прямоуг. трапеция, вс - меньшее основание, аd - большее основание.

тогда по условию угол вса - прямой, угол сdа  равен 45 градусов.. треугольник авс - прямоугольный, и равнобедренный, т.к. угол вас тоже равен 45 градусов, т.е. 90 - 45 = 45( град). тогда ав равен 6см, а это и есть высота трапеции. проведем еще одну высоту ск. тогда треугольник ксd тоже прямоугольный и равнобедренный, т.к. угол kcd =  90 - 45 = 45 град. значит ск = кd = 6см. тогда аd = ак + кd = 6+6 = 12 см.

s= (6+12)/2 *6 = 54кв.см

№1. из условия видим, что диагональ bd делит ромб на два правильные треугольника abd и cbd. можно по теоремме пифагора найти высоту этих треуг-ков, а затем их площадь, но для равностороннего треуг-ка есть такая формула площади:

s=(√3/4)*a^2

s=√3/4*10=2√3/5=0,7см^2

№2. сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, поэтому r=6см.

длина окр-ти l=2пr=2*3,14*6=37,68см

s=пr^2=3,14*36=113,04см^2

№3. что-то не понял условие. дан прямоугольный треугольник и найти радиус вписанного треугольника. радиус вписанной окружности нужно найти.

r=s/p, где р-полупериметр. так как острый угол 45, то катеты равны.

пусть один катет равен х, тогда

x^2+x^2=100

2x^2=100

x^2=50

x=√50=5√2см

s=1/2*5√2*10=25√2см^2

p=(10+5√2+5√2)/2=5+5√2см

r=25√2/(5+5√2)=5√2/(1+√2)=2,93см