Расстояние от некоторой точки до плоскости прямоугольника равно корень из 5см, а до каждой из его вершин – 3 см. найдите диагональ прямоугольника.

если расстояние от точки пространства до вершин многоугольника ( в частности прямоугольника) одинаковое, то эта точка будет проектироваться в центр описанной окружности.в прямоугольнике авсd это точка пересечения диагоналей o.а расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра mo, опущенного из точки на плоскость, основание которого будет в центре прямоугольника.по условию mo =3 см,а ма=√5 см. из прямоугольного треугольника амо по теореме пифагора имеем оа=   √9-5=√4=2. оа-это половина диагонали прямоугольника. вся диагональ ас=4.

Начертите чертёж и посмотрите внимательно. рассмотрим одну из вершин трапеции и отрезки сторон, соединяющие эту вершину с точками, в которых окружность касается сторон. эти отрезки равны между собой как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. такое рассуждение можно провести для всех 4-х вершин. таким образом, наша трапеция "собрана" из отрезков 4-х видов (длин) , каждый повторяется по 2 раза. назовём эти длины а, в, с и d. периметр трапеции - это 2(а+в+с+d)=12. далее, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. основания также складываются из наших 4-х отрезков. сумма оснований будет (а+в+с+d)=12/2=6. полусумма - (а+в+с+d)/2=6/2=3.

Теорема 1 (первый признак равенства — по двум катетам) если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны. теорема 2 (второй признак равенства — по катету и прилежащему острому углу) если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны. теорема 3 (третий признак равенства — по гипотенузе и острому углу) если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны. дано: \triangle{abc} и \triangle{a_1b_1c_1}, \angle{c}=\angle{c_1}=90^{\circ}, ab=a_1b_1, \angle{a}=\angle{a_1}. требуется доказать: \triangle{abc}=\triangle{a_1b_1c_1}. доказательство: доказываем наложением \triangle{abc} на \triangle{a_1b_1c_1}. гипотенузы при этом совместятся. ac пойдёт по a_1c_1, так как \angle{a}=\angle{a_1}. но bc{\perp}ac и b_1c_1{\perp}a_1c_1. bc совпадёт с b_1c_1. теорема 4 (четвёртый признак равенства — по гипотенузе и катету) если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны. дано: \triangle{abc} и \triangle{a_1b_1c_1}, \angle{c}=\angle{c_1}=90^{\circ}, ab=a_1b_1, bc=b_1c_1. требуется доказать: \triangle{abc}=\triangle{a_1b_1c_1}. доказательство: для доказательства применим способ приложения, которым был доказан признак равенства всяких треугольников. приложим \triangle{a_1b_1c_1} и \triangle{abc} равными катетами. тогда сумма двух прямых есть развёрнутый угол, стороны которого ca и ca_1 образуют одну прямую. bc{\perp}aa_1. из равенства наклонных ba и ba_1 следует: ac=c_1a. по трём сторонам или по двум катетам треугольники abc и a_1b_1c_1 равны.