Из вершины угла c треугольника abc к его плоскости проведен перпендикуляр cn расстояние от точки n до прямой ab равно 26см. найти расстояние от точки n до плоскости треугольника, если ac=30см, ab=28см и bc=26см

в треугольнике авс проводим перпендикуляр из точки с к прямой ав, предположим сн.ch=корень 676-196= корень из 480nc= корень 676-480= корень из 169nc=13

Объяснение:

Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК.

3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.

4. В трапеции ABCD: AB = BC = CD, CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС, проходит через середину BD.

5. Пусть AA1 и BB1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС, М – середина АВ. Окружности, описанные около треугольников AMA1 и BMB1 пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно. Докажите, что К, М и L лежат на одной прямой.

6. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

10–11 класс

1. AD и BE – высоты треугольника АВС. Оказалось, что точка C', симметричная вершине С относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что АВ – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.

2. Прямая а пересекает плоскость α. Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от а и не пересекающих a. Верно ли, что а перпендикулярна α?

3. Дана неравнобокая трапеция ABCD (AB||CD). Произвольная окружность, проходящая через точки А и В, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

4. Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше четырёх можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD: AC ⊥ BD, ∠BCA = 10°, ∠BDA = 20°, ∠BAC = 40°. Найдите ∠BDC. (ответ выразите в градусах.)

6. Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС; окружности, описанные около треугольников АВС и A1B1C, вторично пересекаются в точке Р, Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника АВС, проведённых в точках А и В. Докажите, что прямые АР, ВС и ZC1 пересекаются в одной точке.

△kcd= sabcd/4 sabcd= (ad+bc)*h/2 ad=2bc sabcd= 3bc*h/2 △kcd= 3bc*h/8 △kcd= kd*h/2 3bc*h/8 = kd*h/2 < => kd= 3bc/4 bc= 2 kd= 1,5 ak= 4-1,5 = 2,5 сm - медиана △aсd: am= 1/2ad =bc если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. см=ab медиана по трем сторонам: mc= √(2a^2 + 2b^2 - c^2)/2 cm= √(2ac^2 + 2cd^2 - ad^2)/2 √7= √(2ac^2 + 2cd^2 - 4^2)/2 < => 7= (ac^2 + cd^2)/2 - 4 < => ac^2 + cd^2 =22 ad^2= ac^2 + cd^2 -2ac*cd*cos(acd) 16= ac^2 + cd^2 - ac*cd 16= 22 - ac*cd < => ac*cd =6 < => ac= 6/cd (6/cd)^2 +cd^2 =22 < => (36 +cd^4 -22cd^2)/cd^2 < => cd^4 -22cd^2 +36 =0 cd^2= 11+-√85 -- c₁d= 4,4966 c₂d= 1,3343 -- ac₁= 1,3343 ac₂= 4,4966 △ac₁d=△ac₂d (по трем сторонам) ∠c₁da=∠dac₂=α ∠ac₁d=∠ac₂d=60 -- sin(60)/4 = sin(α)/ac₁ sin(α) = 0,2165*1,3343 = 0,2889 cos(α)= √[1-0,2889^2] = 0,9573 -- 1) △c₁dk: c₁d= 4,4966; kd= 1,5 c₁k^2= c₁d^2 + kd^2 - 2*c₁d*kd*cos(α) ck^2= 20,2194 + 2,25 - 8,6091*1,5 = 9,5556 c₁k= 3,0912 -- 2) △ac₂k: ac₂= 4,4966; ak= 2,5 c₂k^2= ac₂^2 + ak^2 - 2*ac₂*ak*cos(α) ck^2= 20,2194 + 6,25 - 8,6091*2,5 = 4,9466 c₂k= 2,2241