В▲ авс угол а=42°, внешний угол при вершине в=101°.найдите градусную меру угла с.

внешний угол при вершине в=101°. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

значит, угол а+угол с=101.отсюда угол с =101°- угол а=101°-42°=59° 

Сумма  углов правильного многоугольника не может быть 1140°, т.к. в этом случае количество  сторон  получается  дробным,  чего  не  может  быть.  очевидно,данная  сумма  углов  равна  1440°.  если число  сторон n,  то имеем: 180·(n-2)=1440,    (n-2)=1440: 180;     n-2=8,  n=10.  тогда  в  новом  многоугольнике  5  сторон,  5  равных  углов,  сумма  которых  равна  180·(5-2)=540° , 

Док-ть :   во=ао=ос док-во.     проведем cd||ab.   продолжим во до пересечения с cd. δaob =  δcod   по стороне и 2-м прилеж. углам: ао=ос (во-медиана), уголвао=углуdco ( ав || сd, ac - секущая),  угол aob= углу doc, как вертикальные. значит, ав=сd. в 4-ке авсd:   ав и сd равны и параллельны, значит, авсd - параллелограмм, у которого угол в=90о. тогда авсd - прямоугольник, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. вd=ac и bo=0,5*bd=0,5*ac, что и треб. док-ть.