Доведіть, що рівні хорди кола рівновідаленні від його центра.

соедини точки а,в,d  с центром окружности

ав=ad по условию

ао=во как радиусы одной окружности ао общая

треугольники равны по трем сторонам(третий признак равенства треуг.)

 

Строго говоря, теорема птолемея дает необходимое и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. но если честно, я ни разу не встречал , в которой пришлось бы использовать достаточность. то есть всегда бывает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается соответствующий вывод. предлагаю в таком виде теорему и формулировать. теорема птолемея.    если четырехугольник abcd вписан в окружность, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон                                 ac·bd=ab·cd+ad·bc .меня всегда удивлял тот факт, что в этой теореме приходится перемножать противоположные стороны. как-то далеко друг от друга они расположены. вот  если бы соседние перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. это и дало толчок к моему доказательству.  найдем площадь abcd двумя способами. во-первых, эта площадь равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними - эта формула, как мне кажется, школьникам должна быть известна. доказывается она либо разбиением четырехугольника диагоналями  на 4 треугольника, либо более красиво -  рассматривая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины,  если обозначить угол между диагоналями буквой  ф, то                                    s=(1/2)ac·bd·sin  ф угол  ф - это угол между ac и bd, а он, как известно из школьной программы, равен полусумме дуг ab и cd, высекаемых этими . через вписанные углы он выражается в виде суммы углов bca и cbd. запомним это.  во-вторых, более или менее естественно попробовать сосчитать площадь abcd как сумму площадей двух треугольников, скажем abc и adc, но в этом случае мы будем получать произведения соседних сторон, а не противоположных. выйдем из положения не совсем обычным способом. отрежем от четырехугольника треугольник abc (останется нетронутым  треугольник adc)  , перевернем abc другой стороной и "приклеим" на старое место. если вы не любите "играть в бирюльки" и хотите " рассуждение", то вот оно. рассмотрите диаметр окружности, перпендикулярный ac, и рассмотрите точку b', симметричную точке b относительно этого диаметра. конечно, она снова лежит на окружности, при этом ab=cb'; bc=b'a. иными словами, мы получили четырехугольник ab'cd, площадь которого равна площади старого, с теми же сторонами, но теперь те стороны, которые были противоположными, стали соседними. разобьем четырехугольник ab'cd  на два треугольника так, чтобы их сторонами были бывшие противоположные. тогда  s_(abcd)=s_(ab'cd)=s_(ab'd)+s_(b'cd)= (1/2)ab'·adsin dab'+(1/2)b'c·cdsin b'cd во вписанном четырехугольнике, как известно, сумма противоположных углов равна 180°, значит синусы этих углов равны, поэтому  s_(abcd)=(1/2)(ab'·ad+b'c·cd)sin dab'= (1/2)(bc·ad+ab·cd)sin (dac+cab')= (1/2)(bc·ad+ab·cd)sin (dbc+bca)=(1/2)(bc·ad+ab·cd)sin  ф (углы dac и dbc опираются на одну дугу и поэтому равны, углы cab' и bca опираются на равные хорды b'c и ab  и поэтому равны).  сравнив две полученные формулы для площади abcd, получаем искомую формулу. пример на использование    теоремы птолемея.  четырехугольник abcd вписан в окружность, ab=1, ac=2, ad=6/5,  ∠adc=90°. найти bd. решение.  ∠adc=90°⇒∠abc=90°, то есть abcd разбит диагональю ac на два прямоугольных треугольника. с теоремы пифагора находим неизвестные катеты этих треугольников: bc=√3; cd=8/5. по теореме птолемея bd·ac=ab·cd+bc·ad; 2bd=8/5+6√3/5; bd=(4+3√3)/5 заканчивая сей опус, хочу извиниться за то, что не способен сейчас сделать чертеж - много дел запланировано на этот вечер. если кто-нибудь сделает мне его - все заработанные на этой

Середины сторон ab, bc, cd, da - точки к, l, m, n, лежат в одной плоскости.  действительно,  kn – средняя линия треугольника abd, kn - параллельна bd, кn=bd/2.  lm – средняя линия треугольника cbd, lm - параллельна bd, lm=bd/2.  kn и lm параллельны, точки k, n, l, m лежат в одной плоскости.  кn=lm=bd/2  кnlm – параллелограмм (причём всегда, равенство диагоналей не использовали)  аналогично, kl=mn=ac/2.  т.к. ac=bd, то  kl=lm=mn=nk.  параллелограмм, у которого все стороны равны – ромб.