Сторона ав ромба авсd равна a, один из углов ромба равен 60°. через сторону ав проведена плоскость α на расстоянии a\2 (a деленное на 2) от точки d. а) найдите расстояние от точки с до плоскости α. б) покажите на рисунке линейный угол двугранного угла dabm, m принадлежит α. в) найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.

а)cd ii плоскости альфа , значит расстояние от с до альфа = расст от d до альфа и равно а/2  б) строим угол: проведем dm перпендикулярно альфа иdf перпендик ав. по теореме о 3 перпендикулярах, угол dfm _линейный  в) в треуг dfm sindfm=dm/df  df=a*sin60 из треуг adf

если в дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой пифагора.

кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

   

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

рассмотрим две на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

1.

точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

дано:   ∆ abc, ∠c=90º,

окружность (o, r) — вписанная,

k, m, f — точки касания со сторонами ac, ab, bc,

bm=4 см, am=6 см.

найти:

   

решение:

1) по  свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

ak=am=6 см,

bf=bm=4 см,

ck=cf=x см.

2) ab=am+bm=6+4=10 см,

ac=ak+ck=(6+x) см,

bc=bf+cf=(4+x) см.

3) по теореме пифагора:

   

   

   

   

   

по  теореме виета,

   

второй корень не подходит по смыслу . значит, ck+cf=2 см, ac=8 см, bc=6 см.

4)

   

   

   

   

   

   

ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

2.

найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

дано: ∆ abc, ∠c=90º,

окружность (o, r) — вписанная,

k, m, f — точки касания со сторонами ac, ab, bc,

ab=26 см, r=4 см.

найти:

   

решение:

1) проведем отрезки ok и of.

   

(как радиусы, проведенные в точки касания).

четырехугольник okcf — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

а так как ok=of (как радиусы), то okcf — квадрат.

2) по свойству касательных, проведенных из одной точки,

am=ak=x см,

bf=bm=(26-x) см,

cf=ck=r=4 см.

3) ac=ak+kc=(x+4) см, bc=bf+cf=26-x+4=(30-x) см.

по теореме пифагора,

   

   

   

   

   

   

если am=20 см, то ac=24 см, bc=10 см.

если am=6 см, то ac=10 см, bc=24 см.

   

   

ответ: 120 см².

Необходимо найти радиус этой окружности. углу равному 60 градусов соответствует дуга длиною 2пи найдем длину дуги всей окружности. (2пи: 60)=(х: 360) х=12пи с(длина дуги окружности)=2пи*р(радиус окружности)=12пи р=6 теперь можно найти длину хорды, которая стягивает эту дугу. найдем эту длину из треугольника, у которого две стороны равны радиусу, а угол, который лежит между этими сторонами , равный 60 градусов. такой треугольник будет равносторонний , а значит длина хорды будет равна длине радиуса. h=6 формула площади сектора окружности : n-градусная мера дуги