Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см в квадрате. найдите длины сторон прямоугольника.

смотрите, в этом 4 угольнике диагонали взаимно перпендикулярны, и одна из них - диаметр окружности, то есть 6. площадь такого 4угольника равна половине произведения диагоналей (докажите, это просто). значит расстояние между точками касания 12*2/6 = 4. а половина - 2. значит sin(ф) =2/3. ф - половина центрального угла хорды, соединяющей точки касания. легко увидеть, что ф - угол при большом основании трапеции (просто стороны углов перпендикулярны). а дальше, вычисляете боковую сторону (диаметр делить на sin( она равна средней линии (почему? - это следует из свойства описанного 4угольника: умножаете на диаметр, решена. собрав все это получаем (2*r)^2/sin(ф) = 54.

это я перенес из сообщения, некоторые места я не объясняю, в надежде, что вы сами из объясните, это просто.

поставьте циркуль в середину основания и проведите окружность радиусом, равным   медиане. основание автоматически станет диаметром. а угол при противоположной вершине будет опираться на диаметр, то есть будет прямым, где бы вершина не находилась.

можно и так - если достроить треугольник до параллелограма, то диагонали в нем будут равны, а это бывает только в прямоугольнике.

можно и так - основание медианы равноудалено от вершин треугольника, значит, оно лежит на перпендикуляре, проходящем через середину стороны (любой, к которой медиана не проведена). то есть средняя линяя треугольника перпендикулярна другой стороне. то есть треугольник прямоугольный.