Вычислить площадь треугольника, зная, что его стороны равны: 29, 25, 6

Пустьabcd  – данный параллелограмм,  ac  и  bd  – его диагонали и (ac)    (bd). пусть  o  – точка пересечения диагоналей параллелограмма. треугольник  abc  – равнобедренный с основанием  ac. действительно, так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то  ao  =  oc, и тогда  bo  – медиана треугольника  abc, проведенная к стороне  ac. но по условию (bo)    (ac) и [bo] – высота треугольника  abc. тогда  abc  – равнобедренный треугольник с основанием  ac. отсюда –  ab  =  bc. по свойству равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что  ab  =  bc  =  cd  =  ad. таким образом, данный параллелограмм – ромб. теорема доказана.

Все просто, если бы не четырехугольник задан координатами его вершин, значит имеем дело с векторами.  выпуклый многоугольник - многоугольник, все углы которого меньше 180°. косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов. для нахождения угла а:     1) находим координаты векторов ав и аd (угол а между ними) :       ав={xb-xa; yb-ya} = {5-4; 7-4} = {1; 3}       ad={12-4; 4-4} = {8; 0}   2)  находим скалярное произведение векторов ав и аd:     ab*ad= xab*xad + yab*yad = 8+0=8   3) находим модули векторов ав и ас:     |ab| = √(x²+y²) = √(1+9) = √10     |ad| = √(64+0) = 8 cosa= ab*ad/(|ab|*|ad|) = 8/8√10 ≈ 0,316   угол а ≈ 72°. для нахождения угла в:   1) находим координаты векторов ва и bс (угол в между ними) :       ba={xa-xb; ya-yb} = {4-5; 4-7} = {-1; -3}       bc={10-5; 10-7} = {5; 3}   2)  находим скалярное произведение векторов ba и bс:     ba*bc= xba*xbc + yba*ybc = (-5)+(-9)= -14   3) находим модули векторов ba и bс:     |ba| = √(x²+y²) = √(1+9) = √10     |bc| = √(25+9) = √34 cosв= ва*вс/(|ва|*|вс|) = -14/√340 ≈ -0,759   угол в ≈ 139°. для нахождения угла c:   1) находим координаты векторов cb и cd (угол c между ними) :           cb={5-10; 7-10} = {-5; -3}           cd={12-10; 4-10} ={2; -6}   2) находим скалярное произведение векторов cb и cd:     cb*cd= xcb*xcd + ycb*ycd = (-10)+(18)= 8   3) находим модули векторов cb и cd:     |cb| = √(x²+y²) = √(25+9) = √34     |cd| = √(4+36) = √40 cosc= cb*cd/(|cb|*|cd|) = 8/36,88 ≈0,217   угол c ≈ 77°.   для нахождения угла d:   1) находим координаты векторов dc и da (угол d между ними) :           dc={10-12; 10-4} = {-2; 6}           da={4-12; 4-4} ={-8; 0}   2) находим скалярное произведение векторов dc и da:     dc*da= xdc*xda + ydc*yda = (16)+(0)= 16   3) находим модули векторов dc и da:     |dc| = √(x²+y²) = √(4+36) = √40     |da| = √(64+0) = 8 cosd= dc*da/(|dc|*|da|) = 16/16√10 ≈0,316   угол d ≈ 72°.   все углы четырехугольника меньше 180°, значит он   выпуклый, что и надо было проверить.проверим арифметику: сумма углов нашего четырехугольника равна:   72°+139°+77°+72° = 360°. на удивление, совпало.