1) в параллелограмм с тупым углом 135 вписан круг площадью 9 пи. каков периметр

площадь круга находится по формуле  s=pi*r^2, значит 9pi=pi*r^2, r^2=9, r=3

если радиус круга равен 3, то диаметр 2r=3*2=6

если провести в параллелограмме высоту из тупого угла, то эта высота будет равна величине диаметра и равна 6.

так как сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180 градусов, то острый угол равен 180-135=45.

раз мы провели высоту, значит этот треугольник будет прямоугольным. а так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, то значит другой острый угол равен 90-45=45. его острые углы равны, значит этот треугольник равнобедренный и значит, раз он прямоугольный, его катеты равны 6.

по теореме пифагора находим гипотенузу. она равна 6 корням из 2(она же является одной из сторон параллелограмма).

так как есть свойство, по которому если в многоугольник вписан круг, то суммы его противолежащих сторон равны. в параллелограмме(abcd) это пары параллельных сторон(ab+cd=bc+ad).  

так как противолежащие стороны у параллелограмма равны, то: 2*6 корней из 2 = 2*x

x= 6 корней из 2

это значит, что наш параллелограмм является ромбом, а значит его периметр равен: 4* 6 корней из 2 =24 корня из 2

ответ: периметр параллелограмма равен 24 корня из 2

 

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. ав1 - проекция диагонали db1 призмы на боковую грань аа1в1в. значит угол ав1d = α. тогда сторона основания призмы (квадрата) аd=db1*sinα=а*sinα. диагональ основания вd=а*sinα√2.  высота призмы вв1=√(а²-2а²*sin²α) или h=а√(1-2sin²α). объем призмы равен vп=so*h, или а³sin²α√(1-2sin²α). при а=4 и sin30° объем призмы равен vп=64*(1/4)*√2/2=8√2. объем описанного цилиндра равен so*h, где so=πr². r=bd/2=а*sinα*(√2/2). so=πа²*sin²α*(1/2). объем цилиндра равен vц=πа³*sin²α*(1/2)*√(1-2sin²α). при а=4 и sin30° объем призмы равен vц=π64*(1/4)*(1/2)*(√2/2)=π*4√2. ответ: vп=8√2.  vц=π*4√2.

Пусть авсд - трапеция, у которой углы в и с - прямые (ав - большее основание, сд - меньшее основание) . проведем из тупого угла д высоту на основание ав (получим точку е) , а из центра вписанной окружности - перпендикуляры (радиусы) на сторону ад и основание сд. получим точку м (на основании сд) и точку n - на стороне ад. мд=nд = 4. тогда ае = (ав+r - сд-r) = 25-4=21. из прямоугольного треугольника аде по теореме пифагора находим высоту трапеции: = (29^2-21^2)^(1/2)=20. одновременно это и диаметр вписанной окружности. тогда сд =см+мд= 10+4=14, ав=10+25=35. площадь трапеции: (14+35)*20/2=490.