Найдите длину бокового ребра правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ составляет с боковой гранью угол 30 градусов и имеет длину 7√2 см.

Δавс  равнобедренный, ав=вс    ⇒  ∠а=∠в  ,  точка  д∈ас  , дк║вс  ,  дм║ав  . ∠адк=∠асв как соответственные углы при параллельных дк и см и секущей ас . ∠а=∠асм=∠адк   ⇒   δадк равнобедренный , ак=дк . ∠а=∠сдм  как  соответственные  при  параллельных  ав  и  дм  и  секущей  ас, ∠сдм=∠вас=∠вса    ⇒  δдсм равнобедренный, дм=см  . периметр  четырехугольника  вмдк   равен      р=вк+вм+дм+дк=вк+вм+мс+ак=(вк+ак)+(вм+мс)=ав+вс, что  и  требовалось  доказать. 

Длина отрезка ав =  √())²+(-3-3)²) =  √(16+36) =  √52 = 2√13. середина его - начало координат (полусумма координат по х и по  у равна 0). угловой коэффициент а прямой ав =  δу/δх = -6/4 = -3/2. точка с лежит на перпендикуляре к середине отрезка ав. коэффициент а₁ в уравнении этой прямой равен -1/а = -1/(-3/2) = 2/3. у равнение этой прямой  у = (2/3)х.для определения координат точки с надо решить систему уравнений - окружности с радиусом r =  √52 с центром в одной из точек а или в и прямой  у = (2/3)х. примем за центр точку в. решаем систему способом подстановки значение у из  второго уравнения   в первое.получаем, раскрыв скобки и подобные, х² = 351/13 = 27. отсюда х = +-√27 = +-3√3.               у = +-2√3. то есть имеем 2 точки, симметричные ав, в которых может находиться вершина с(3√3; 2√3) и               с(-3√3; -2√3).