1. расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны 9 и 12 см найти площадь трапеции. 2. расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8 см найти площадь трапеции. 3. в прямоугольном треугольнике авс (угол с =90 градусов) ав=10 см, радиус вписанной в нее окружности равен 2 см. найти площадь этого треугольника. 4. точка делит хорду ав на отрезки 12 и 16 см найти диаметр окружности, если расстояние от точки с до центра окружности равно 8 см. 5. ав и вс отрезки касательных, проведенных к окружности с центром о радиуса 10 см. найти периметр четырехугольника авсо, если угол аос=120 градусов.

1. в равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон и боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90° (свойства). тогда по теореме пифагора в треугольнике аво: ов=9, ао=12, ав=15. высота из прямого угла  на гипотенузу ав - это радиус вписанной окружности и по свойству высоты: r= оа*ов/ав = 12*9/15 = 7,2см. высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности h = 2r = 14.4 см. тогда площадь трапеции: s=(вс+аd) * h/2 = (ав+сd) *h/2 = (15+15) *14,4/2 = 216см². ответ: 216.2. пусть авсd - данная прямоугольная трапеция c прямым углом а. опустим высоту сн из тупого угла  с. тогда сторона cd по пифагору равна √(6²+8²) = 10см. в трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. значит треугольник ocd - прямоугольный.  тогда по пифагору cd=√(6²+8²)=10см. радиус вписанной окружности - высота ор  из прямого угла и по ее свойствам равен  r= ос*оd/cd=6*8/10=4,8см. тогда высота трапеции равна 2*r=9,6см. в треугольнике нсd катет нd=√(10²-9,6²)=2,8см. высота ор делит гипотенузу сd на отрезки ср и рd, причем ос²=ср*cd (свойство). отсюда ср=36/10=3,6см, а pd=6,4см. в нашей трапеции  основание вс=сn+r = 4,8+3,6=8,4см (так как касательные из одной точки с к окружности равны). площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника авсн и треугольника chd: 8,4*9,6+(1/2)*9,6*2,8 = 80,64+13,44=94,08см². ответ: s=94,08см². 3. формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: r=(a+b-c)/2 = 2. => a+b=14. b=a-14. по пифагору: a²+(14-а)²=100  =>   a²-14a+96=0. => a1=6, a2=8. соответственно b1=8, b2=6. s=(1/2)*6*8=24см². 4. по теореме косинусов для треугольников аос и вос: r²=16²+8²-2*16*8*cosα  (1) r²=12²+8²-2*12*8*cos(180-α).  cos(180-α) = -cosα. r²=12²+8²+2*12*8*cosα. (2). приравняем (1) и (2): 320-256*cosα=208+192*cosα => cosα=0,25. из(1):   r²=320-64=256. ответ: r=16см. 5. касательные из одной точки к окружности равны, радиусы перпендикулярны касательным в точке касания. поэтому прямоугольные треугольники аво и сво равны и угол аво=30°. тогда ао=20см и ав=10√3см. периметр pabco=2*10+2*10√3=20(1+√3)см.

Втакой форме записи это выглядит неудобно. пусть вписанная в abc окружность касается сторон bc, ac, ab в точках a1, b1, c1 соответственно. противоположные стороны я обозначу одноименными маленькими буквами, то есть bc = a; ab = b; ab = c; кроме того, я обозначу ab1 = ac1 = x; bc1 = ba1 = y; ca1 = cb1 = z; тогда x + y = c; y + z = a; x + z = b; x - y = b - a; 2*x = c + b - a; то есть ac1 = ab1 = (ab + ac - bc)/2; что и требовалось доказать. курсив можно не читать.выражение x = (c + b - a)/2; можно переписать в такой форме. пусть p = (a + b + c)/2; p - полупериметр. тогда x = p - a; и, аналогично, y = p - b; z = p - c; формула герона записывается, как s^2 = p*x*y*z;

Трапеция авсд, у которой ад-нижнее основание, вс- верхнее основание.если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная (ав=сд). в трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (ад+вс=ав+сд). высота трапеции вн равна диаметру вписанной окружности (вн=2*6=12) средняя линия трапеции мк  параллельна основаниям и равна их полусумме (мк=(ад+вс)/2 или ад+вс=2мк=2*13=26).тогда боковые стороны равны ав+сд=26, значит ав=сд=26/2=13. из прямоугольного  δавн найдем ан=√(ав²-вн²)=√(13²-12²)=√25=5. в равнобедренной трапеции ад=вс+2ан=вс+10. подставим это в  ад+вс=26, получаем вс+10+вс=26 вс=16/2=8 ад=8+10=18 ответ: стороны 13, 8, 13, 18.