Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. окружность с центром на большей стороне касется двух меньших сторон треугольника . найдите: а)радиус окружности б) длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

я про такой треугольник много уже написал тут. ну, можно еще.

но сначала решение "для учителя".

центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. длины этих отрезков 15*13/(13+14) = 65/9 и 15*14/(13 + 14) = 70/9;

площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*r/2 и 14*r/2, поскольку радиус окружности r играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. сумма их равна s = 27*r/2;  

площадь треугольника s считается по формуле герона.

полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2   = 21;

p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6;  

s^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2; s = 7*3*4 = 84;

получилось

27*r/2 = 84; r = 56/9;

 

теперь вот что. часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в пифагоровых тройках. или - что несколько сложнее - пропорциональны им. в данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из "египетской" тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух пифагоровых. это действительно так - достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14.

это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, других таких треугольников не бывает : ))

это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). в результате площадь треугольника считается устно, и равна

s = 12*14/2 = 84;  

в данном случае площадь легко считается и по формуле герона, но это не всегда так, и - кроме того - применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. а метод "пифагоровых троек" позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно. 

стоит только помнить, что после получения ответа таким способом надо еще уметь получить его "стандартными" . если поискать среди моих - там есть более подробное изложение различных способов, которые надо прменять в таких случаях. формула герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.

1. в) (110 градусов - тупой угол)

2. б) (напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона)

3. а) (наибольшая сторона треугольника должна быть строго меньше суммы двух других)  

4. гипотенуза: AB

катеты: BC, AC.

5. равнобедренный

6. меньше

7. равен половине гипотенузы

8. это расстояние отрезка, выходящего с данной точки и перпендикулярного к данной прямой

9. а)

10. г)

11. наклонная: BK

перпендикуляр: HK

расстояние от точки К до прямой НВ: КН

расстояние от точки В до прямой НК: ВН

12. если 40 градусов - это угол при основании, тогда и другой угол будет 40 градусов, тогда третий = 180 - 40 - 40 = 100 градусов.

если 40 градусов - угол не при основании, то тогда имеем два равных угла при основании, сумма которых составляет 180-40 = 140 градусов. тогда каждый из них будет по 70 градусов.

ответ: 40, 40 и 100 либо 40, 70 и 70.

Одним из бретёров ХIХ века был двоюродный дядя Л. Н. Толстого – Федор Толстой. Однажды, поссорившись с неким морским офицером, Толстой вызвал его на дуэль. Тот предложил избрать «морской дуэли. Объясните, как должна была происходить дуэль «морским ответ Моряк предложил драться в воде, пока один из соперников не утонет. Толстой попробовал отказаться, ссылаясь на неумение плавать, но нарвался на обвинение в трусости. Тогда он схватил противника и поволок в море. Выплыли оба, но несчастный моряк получил такие повреждения, что через несколько дней умер.