Докажите: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

пусть мn- средняя линия треугольника авс. треугольники вмn и вас подобны по второму признаку подобия треугольников (угол в -общий, вм/ba= bn/bc=1/2) поэтому угол вмn равен углу bac и mn/ac=1/2. из равенства углов следует, что  mn параллельна ас, а из второго равенства что  mn=1/2 ac. теорема доказана; )

Билет №1 1. точки. прямые. отрезки. 2. сформулировать и доказать теорему, выражающую третий признак равенства треугольников. 3. внутри равнобедренного треугольника abc с основанием вс взята точка m такая, что угол mbc равен 30, угол mcb равен 10. найти угол amc, если угол вас равен 80. билет №2 1. виды треугольников. 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. отрезки ac и bm пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. доказать, что треугольник abc равен треугольнику cma. билет №3 1. линии в треугольнике ( медиана, биссектриса, высота). 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны 3. на окружности с центром о отмечены точки а и в так, что угол aob прямой. отрезок вс - диаметр окружности. докажите, что хорды ab и ac, равны. билет №4 1. наклонна, проведенная из данной точки к прямой, расстояние от точки до прямой. 2. доказать, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны. 3. два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. найдите две другие стороны треугольника. билет №5 1. определение параллельных прямых, параллельные отрезки. 2. сформулировать и доказать первый признак равенства треугольников. 3. в равнобедренном треугольнике abc с основанием вс проведена медиана am. найти медиану am, если периметр треугольника abc равен 32 см, а периметр треугольника abm равен 24 см. билет №6 1. луч угол. виды углов. 2. свойство углов при основании равнобедренного треугольника. 3. сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых с текущей равна 210. найти эти углы. билет №7 1. что такое секущая. назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. 2. сформулировать и доказать теорему, выражающую второй признак равенства треугольников. 3. отрезок ам -биссектриса треугольника abc. через точку m проведена прямая, параллельная ac и пересекающая сторону ab в точке e. доказать, что треугольник ame равнобедренный. билет №8 1. объясните, как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. 2. теорема о сумме углов треугольника. 3. на биссектрисе угла а взята точка e, а на сторонах этого угла точки в и с такие, что угол aec равен углу aeb. доказать, что be равно ce. билет №9 1. определение окружности, центра, радиуса, хорды и диаметра. 2. неравенство треугольника. 3. отрезки ab и cm пересекаются в их общей середине. доказать, что прямые ac и bm параллельны билет №10 1. аксиомы . аксиома параллельных прямых и свойства из нее вытекающие. 2. свойства прямоугольных треугольников. 3. доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. билет №11 1. какой треугольник называется прямоугольным. стороны прямоугольного треугольника. 2. доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. 3. найти смежные углы, если один из них на 45 больше другого. билет №12 1. смежные углы ( определение и свойства). 2. доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 3. .докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его вы сотой, то треугольник равнобедренный. билет №13 1. вертикальные углы (определение и свойства). 2. доказать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 3. отрезки ab и ce пересекаются в их общей середине о. на отрезках ac и be отмечены точки к и m так, что ak равно bm. доказать, что ok равно

ромб - параллелограмм, у кот.все стороны равны

диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам (как и у любого параллелограмма)

диагонали ромба - биссектрисы его углов

ромб abcd ab= ab=bd => треугольник abd - равносторонний

в равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны => bad = 180/3=60 = bda = dba

bd - биссектриса cda => cda = 2bda = 2*60 = 120

bad = bcd, cda = cba (т.к. ромб - это параллелограмм)

вторая диагональ ac = ao + oc

из abo (ab=10, bo=5) по т.пифагора ao = корень(10*10-5*5) =  корень(100-25) =  корень(75) =  корень(25*3) = 5*корень(3)