Решить: диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна 32 дм, а диагональ боковой грани равна 42 дм. найти диагональ данной призмы (вычислить с точностью до 0, 01 дм) с подробным решением.

Биссектриса  по определению делит угол пополам и  отсекает равнобедренный треугольник   (в данном случае треугольники  abl  и  дck).значит ав=аl=сд=кд из треугольника авl найдем основание  вl: вl=ав*√(2-2соs a) ав=вl/√(2-2соs a)=8/√(2-2соs a) из треугольника дск найдем основание  ск: ск=сд*√(2-2соs д)=ав*√(2-2соs (180-a))=ав*√(2+2соs a) ав=ск/√(2+2соs a)=12/√(2+2соs a) 8/√(2-2соs a)=12/√(2+2соs a) 4(2+2соs a)=9(2-2соs a) соs a=5/13 ав=8/√(2-2*5/13)=2√13 ад=3/2*ав=3√13 площадь авсд: s=ав*ад*sin а=2√13*3√13*√(1-соs² a)=78*√(1-25/169)=78*12/13=72

Введём обозначения: - верхнее основание трапеции  - х, - нижнее  основание трапеции     - 3x, - радиус окружности на вертикальной стороне трапеции - r, - радиус окружности на наклонной стороне трапеции - r, - угол наклона боковой стороны трапеции -  α. так как окружности касаются, то средняя линия трапеции равна сумме радиусов окружностей: r + r = (x + 3x) / 2 = 2x. тангенс угла наклона боковой стороны трапеции равен tg  α = 2r / (3x - x) = 2r / 2x = 2r / (r + r). заменим r = r / sin  α, а  tg  α на  sin  α / cos  α = sin  α / √.(1 - sin²α). получаем уравнение : . решая это уравнение, получаем sin  α = 0.6. α = arc sin 0.6 =  0.643501 радиан  =  36.8699 градусов.