Центральный угол aob опирается на хорду ab так, что угол aob = 60, найдите длину хорды ав , если радиус окружности = 7.

получится что треугольник aob - равносторонний потому что: 1) боковые стороны (они же радиусы) равны.

 

значит углы при основании (прихорде ab) = 60 градусов так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. 

 

значит хорда = 7 потому что треугольник aob - равносторонний

так как треугольник abc - равнобедренный ( по условию ) медиана ah, равная 8 см, будет являться также высотой и биссектрисой. треугольник abh - прямоугольный, ab = 10 см,

ah = 8 см. по теореме пифагора: bh ² = ab  ² - ah  ²

                                                                  bh ² = 10  ² - 8  ² = 100 - 64 = 36

                                                                  bh = 6 см.

bh - половина bc => bc = 12 см. треугольник bcc1 - прямоугольный. по теореме пифагора находим высоту призмы: cc1 ² = bc1  ² - bc ²

                                                                    cc1 ² = 13  ² - 12  ² = 169 - 144 = 25.

                                                                    cc1 = 5 см.

объем призмы равен произведению площади основания на высоту: v = s * h

высоту мы уже нашли - осталось найти площадь основания.

треугольник abc содержит в себе два прямоугольных треугольника => площадь abc равна сумме площадей этих треугольников. s abh = 8 * 6 * 0,5 = 24 см ².  площадь второго треугольника тоже равна 24. значит s abc = 24 + 24 = 48 см  ².

v = 48 * 5 = 240 см  ³.

 

p.s: приношу извинения за кривой рисунок, рисовал в паинте : )

пусть первый четырехугольник: авсд, середины сторон соответственно:

а - ав, в - вс, с - сд, д - да,

т.е. аа=ав, вв=вс, сс=сд, дд=да

известны длины диагоналей ас = 18 и вд=32, надо найти периметр четырехугольника авсд.

 

1) нарисуй чертеж - и посмотри на треугольники авс и авв.

у них:

- углы авс и авв равны (это один и тот же угол - в),

- стороны ав и вс пропорциональны ав и вв (ав=1/2 ав, а вв=1/2вс),

значит, треугольники подобны и, соответственно, ав = 1/2 ас = 9,

а также равны углы вав=вас, вва=вса - следовательно стороны ав и ас - параллельны.

2) аналогично треугольники адс и ддс - они тоже подобны,

и, соответственно, стороны дс и ас параллельны и да=1/2 ас,

и, вспомнив 1) - находим, что ав параллельно дс и ав=дс=1/2 ас

3) аналогично рассмотрим треугольники всд и всд - аналогично докажем, что они тоже подобны и найдем, что вд параллельно вд и вд=1/2 вд,

а также подобны треугольники вад и аас, и соответственно, получим, что вд параллельно ас и ас=1/2вд

следовательно ас параллельно вд и ас=вд=1/2 вд=16

 

4) т.е. мы увидели, что малый четырехугольник у нас - параллелограмм (это, в принципе, не важно, но красиво), но главное - мы знаем все его стороны: 9,16,9,16, соответственно, периметр равен

ав+вс+сд+ад=50