Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника?

только диагонали квадрата.

Если трапеция вписана, то сумма её противоположных углов равна 180 градусов. если в трапецию вписана окружность, значит сумма её противоположных сторон, равна сумме двух других противоположных сторон данной трапеции. действительно углы вписанного четырёхугольника в сумме будут давать 180 градусов, так как если начертить рисунок можно увидеть, что два противолежащих углы данного четырёхугольника будут опираться на две дуги, которые в сумме 360 градусов. а вписанные углы равны половине дуги, на которую опираются, следовательно 360/2=180, ч.т.д

Окружность- это место точек равноудалённых от данной точки( от центра окружности) теорема. центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.  доказательство. пусть abc – данный треугольник и o – центр окружности описанной около данного треугольника. δ aob – равнобедренный ( ao = ob как радиусы). медиана od этого треугольника одновременно является его высотой. поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне ac и проходящей через ее середину. так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. теорема доказана.мы применяем данную теорему при  решении . например, когда доказываем, что данный треугольник вписан в эту окружность.