Вкубе abcda1b1c1d1 найдите косинус угла между плоскостями ba1c1 и ab1d1

можно сильно . точка к - центр грани а1b1c1d1 - принадлежит прямым b1d1 и a1c1, то есть - обеим плоскостям. точно так же центр грани abb1a1 - точка м принадлежит a1b и b1a, то есть опять таки обеим плоскостям. таким образом км - линия пересечения плоскостей. 

треугольники а1км и в1км - равносторонние. если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно  √2, а высота треугольника  а1км (и в1км - тоже) равна  √3/2;

то есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к км из точек a1 и в1 как х, то по теореме косинусов

(√2)^2 = (√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x = -1/3; конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный. дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора.

 

на самом деле, самое простое решение этой получается, если применить координатный метод. пусть р - середина а1в1. пусть начало координат лежит в ней, ось z проходит через точку м, х - через точку к, y - через точки а1 и в1.

здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть ра1 = рв1 = рк = рм = 1;  

плоскость ва1с1 - то есть плоскость а1км проходит через точки к = (1,0,0);   а1 = (0,-1,0); м = (0,0,-1);  

уравнение такой плоскости x - y - z = 1; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)

отсюда нормальный вектор к этой плоскости q  = (1,-1,-1);

модуль этого вектора равен  √3

плоскость ав1с1 - то есть плоскость в1км проходит через точки к = (1,0,0);   в1 = (0,1,0); м = (0,0,-1);  

уравнение такой плоскости x + y - z = 1;

отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1,-1);

модуль этого вектора тоже равен √3;

осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3.

видно, что тут ответ получается сам собой. но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых методов затруднительно.

Тут можно ввести прямоугольную систему координат, где оси - это прямые, по которым пересекаются плоскости. тогда координаты центра первого шара (1,1,1). а в зависимости от количества "минусов" в координатах центра второго шара (т.е. от октанта, в котором он расположен) возможны 4 случая: 1) координаты центра  (2,2,2). расстояние равно √((2-1)²+(2-1)^2+(2-1)²)=√3 2) координаты центра  (-2,2,2). расстояние равно √((2+1)²+(2-1)^2+(2-1)²)=√11 3) координаты центра  (-2,-2,2). расстояние равно √((2+1)²+(2+1)^2+(2-1)²)=√19 4) координаты центра  (-2,-2,-2). расстояние равно √((2+1)²+(2+1)^2+(2+1)²)=3√3

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах a    и b   пересекаются в точке   o . тогда   d(o ;   ac) =d(o  ;   ab) =  d(o  ;   bc) б  символом   d(o ;     ) обозначено расстояние от точки  o до прямых содержащих стороны треугольника   .    из равенства  d(o;   ac)  =  d(o  ;   bc)   : заключаем ,  что точка     лежит  на биссектрисе угла  c(по обратной теореме о  биссектрисе   угла   c ;   < ocb =< oca . точка  o один из центров вневписанных    окружностей .