Стороны параллелограмма равны 7 и 11, а косинус острого угла равен 7/11 диагональ параллелограмма разбивает его на 2 треугольника. найдите угол между этой диагональю и прямой, проходящей через центры окружностей, вписанных в эти треугольники.

вся "трудность" тут в том, что диагональ делит параллелограмм на 2 прямоугольных треугольника - это потому, что для них просто выполняется теорема пифагора. ну, или, если хотите, проекция большей стороны на меньшую равна этой меньшей стороне:

11*(7/11) = 7;

то есть окружности вписаны в прямоугольные треугольники, "приставленные" друг к другу катетами. пусть a - эта диагональ, перпендикулярная стороне b = 7 (точнее - обеим сторонам, равным 7), при этом сторона параллелограмма с = 11 играет роль гипотенузы в каждом из этих треугольников.

r = (a + b - c)/2;  

и линия, соединяющая центры обеих вписанных окружностей, проходит через середину катета (диагонали) а. тангенс искомого угла между этой линией и этой диагональю (я обозначаю его  α)

tg(α) = r/(a/2 - r) = a/(c - b) - 1 = √((c+ b)/(c - b)) - 1;

(я просто подставил выражение для r и a = √(c^2 - b^2)  );

tg(α) =  √((11+ 7)/(11 - 7)) - 1 =  √(18/4) - 1 = (3/2)√2 - 1; это ответ.

 

я считал, что речь идет о диагонали тупого угла. между прочим, условие можно трактовать и так, что речь идет о диагонали острого угла. уточняйте : )

Sin∠a/a =sin∠b/  b =sin∠c/c .     sin∠a/210=  sin120°/300 ;   || sin∠a =(210/300) *(√3/2).  sin∠a =7√3/20. * * *7√3/20 =(7/10)*(√3/2)  <   √3/2 ⇒  ∠a  < 60° * * * ∠a =arcsin(7√3/20)⇒cosa =√(1 -sin²∠a) =√(1 -147/400) =√253/20 . ∠c =180° -(  ∠b +∠a) =180° -120° -  ∠a  = 60° -∠a  . c/sin∠c =  b/sin∠b ⇒  c  =  b  *(sin∠c/sin∠b) ,  нужно  вычислить  sin∠c . sin∠c =sin(60° -∠a) =sin60°*cos∠a -cos60°*sin∠a = (√3/2)*(√253/20) -(1/2)*(7√3/20) =(√3/40)(√253 -7)  . c=300 *(√3/40)(√253 -7)  /(√3/2)= 15(√253 -7). удачи ! неинтересная

Диагонали прямоугольника пересекаются в одной точке, поэтому половина диагонали будет равна 5 см. треугольник, образованный половинами диагоналей - равносторонний, так как две его стороны равны 5 см, и т.к. один угол равен 60 градусам, то и все остальные тоже равны 60 градусов. по свойству смежных углов, другой угол между диагоналями равен (180-60)=120 градусов. треугольник, включающий этот угол и имеющий стороны по 5 см, будет равнобедренным, а значит углы при основании равны и составляют (180-120): 2=30 градусов. рассмотрим треугольник, образованный диагональю и большей стороной - сторона лежащая против угла в 30 градусов равна половине гипотенузе, а значит 5 см. по теореме пифагора квадрат гипотенузы=квадрату катета + квадрат другого катета. можем подставить так, что 10 в квадрате=5 в квадрате+неизвестный нам катет в квадрате(пусть будет х) 100=25+х в квадрате х в квадрате=100-25=75 х=5 корней из 3. площадь прямоугольника равна произведению его сторон, значит 5 корней из 3 умнодаем на 5, получаем 25 корней из 3. удачи: ) надеюсь, что правильно)