1. в треугольнике abc угол b - прямой. чем является в этом треугольнике отрезок bc - катетом или гипотенузой? 2. в прямоугольных треугольниках abc и xty равны катеты ab и xt, bc и ty. обязательно ли эти треугольники равны?

1. гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. в нашем случае вс не противолежит прямому углу, а прилежит к нему, значит, является катетом (гипотенузой является отрезок ас, противолежащий углу в).

ответ: катетом.

2. обязательно. треугольники однозначно двумя сторонами и углом между ними. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

ответ: да, обязательно.

находим длину ат: ат = 10*(3/5) = 6 см.

в исходной пирамиде sabcd углы в боковых гранях равны по 60 градусов, так как все рёбра равны 10 см.

находим длины отрезков:

sт = √(10² + 6² - 2*10*6*cos 60°) = √(100+36-60) = √76 = 2√19 см.

dт = √(10² + 6²) = √136 = 2√34.

теперь, используя формулу герона s = √(p(p-a)(p-b)(p- находим площади боковых граней.

s(ast). p = (10 + 6 +2√19)/2 = (8 + √19) ≈ 12,358899 см.

s   =   25,980762 см².

s(dst). p = (10 + 2√34 +2√19)/2 = (5 + √34 + √19) ≈ 15,189851 см.

s   = 42,426407   см².

s(аds). это правильный треугольник. его площадь равна:

s = a²√3/4 = 100√3/4 = 25√3 ≈ 43,30127 см².

ответ: sбок ≈ 25,980762 + 42,426407   + 43,30127   ≈ 111,708439 см².

Все, что курсивом - "теория", нужная для решения. в конце - само решение.расстояние между скрещивающимися прямыми в общем случае находится так. надо найти две параллельные плоскости, каждая из который содержит одну из прямых. расстояние между этими плоскостями и будет искомым расстоянием. плоскость a1dc1 содержит прямую dc1. треугольник a1dc1 - равносторонний, что означает, что трехмерная фигура d1a1dc1 - правильная треугольная пирамида, и вершина d1 проектируется на основание a1dc1 в центр k правильного треугольника a1dc1, то есть d1k перпендикулярно плоскости a1dc1 (это - высота пирамиды). кроме того, фигура ba1dc1 - тоже правильная треугольная пирамида (это - вообще правильный тетраэдр, все его ребра равны), и поэтому bk - высота этого тетраэдра к грани a1dc1, то есть bk перпендикулярно a1dc1. через точку k можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости a1dc1, и на этой прямой лежат точки b и d1. то есть, доказано, что плоскость a1dc1 перпендикулярна диагонали куба bd1. точно также можно доказать, что bd1 перпендикулярно плоскости ab1c, и поэтому плоскости ab1c и a1dc1 параллельны. но параллельность этих плоскостей и так очевидна, поскольку a1c1 ii ac; a1d ii b1c; и разумеется, ab1 ii dc1; но для доказательства параллельности достаточно указать две пары параллельных прямых. однако то, что обе эти плоскости перпендикулярны диагонали bd1 - важно. если рассмотреть внимательнее тетраэдр ba1dc1, можно заметить, что плоскость ab1c пересекает "боковое ребро" ba1 в середине (диагонали квадрата  a1b и ab1 делятся точкой пересечения пополам), поэтому сечение тетраэдра ba1dc1, параллельное грани тетраэдра a1dc1, - это такая "средняя плоскость", то есть она разделит пополам и остальные боковые ребра (bd и bc1, что можно увидеть и так) и, главное - высоту bk (по теореме фалеса). аналогично можно показать, что плоскость a1dc1 делит пополам высоту тетраэдра d1ab1c. если обозначить k1 - центр треугольника ab1c, то получается d1k1 = kk1 = k1b; все это - длинная теория, которую труднее набрать, чем понять. поскольку kk1 - отрезок прямой bd1, перпендикулярной обеим плоскостям a1dc1 и ab1c, то это и есть расстояние между этими плоскостями, а заодно - и расстояние между скрещивающимися прямыми dc1 и cb1. длина диагонали bd = 2√3, kk1 = 2√3/3;