Решение выкладывайте с подробным объяснением) в правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны 1.найдите угол между плоскостями abg и cdf , где f -средина ребра sb , а g-середина ребра sc. ответ:

сечениями будут равнобокие трапеции, причем

ребро пирамиды обозначим (а) а = 1

боковые грани пирамиды

одно основание трапеции = ребру пирамиды = а,

второе основание (меньшее) = средней линии боковой грани пирамиды = а/2

боковая сторона трапеции = медиане боковой грани пирамиды = а*v3 / 2

(высота трапеции)^2 = (а*v3 / 2)^2 - (a/4)^2 = 3a^2 / 4 - a^2 / 16 = 11a^2 / 16

высота трапеции = a*v11 / 4

если обозначить пересечение cf и bg как е (и на противоположной грани пирамиды симметричную точку обозначить е1), то ее1 пересечения плоскостей

ее1 || ab || cd

угол между плоскостями между перпендикулярами к ее1, лежащими в этих плоскостях (угол между отрезками высот трапеций),

причем этот угол при вершине o треугольника goh, где точка о лежит на ее1, go _|_ ee1, oн _|_ ee1, go+oh = высоте трапеции, gh = а*v3/4

 

точка е медиан равностороннего треугольника (боковой грани пирамиды) => точка е разбивает медианы (а это боковая сторона в отношении 2: 1, считая от вершины треугольника => и высота трапеции разбивается прямой ее1 на отрезки в отношении 2: 1, т.е. go: oh = 1: 2, т.е. oh = 2go

go = (a*v11 / 4)  / 3 =  a*v11 / 12

oн = 2*(a*v11 / 12) =  a*v11 / 6

по т.косинусов из треугольника goh

(gн)^2 = oh^2 + go^2 - 2*oh*gh*cos(goh)

3a^2 / 16 = 11a^2 / 36 + 11a^2 / 144 - (11a^2 / 36)*cos(goh)

3a^2 / 16 - 11a^2 / 144 = (11a^2 / 36)*(1-cos(goh))

1-cos(goh) =   16a^2 / 144 : (11a^2 / 36)  = 4/11

cos(goh) = 1 - 4/11 = 7/11

искомый угол = arccos(7/11)

 

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой образуются 8 углов: четыре из них (1, 3, 5, 7) равны одному значению (равны между собой)   и четыре угла (2, 4, 6, 8) равны другому какому то значению (тоже равны между собой). 1) сумма разных углов равна 180°, например, ∠1+∠2=180°,так как они будут смежными. но в нашем случае сумма равна 78° , значмт это сума вертикальных углов, например,  ∠2=∠4. каждый из них равен половине данной сумме 78/2=39°. ∠1=∠3=∠5=∠7=39°. смежные им углы будут равны 180°-39°=141°. ∠2,=∠4,=∠6=∠8=141°. 2) по условию  ∠2-∠1=16°. пусть  ∠1=х°,  ∠2=(х+16)°, сумма смежных углов равна 180°, х+х+16=180, 2х=180-16, 2х=164, х=164/2=82°,  ∠1=16°. ∠2=82+16=98°. ответ: 82°, 98°.

1) см. рис.  δомв- прямоугольный (мов=90°). ов²=вм²-ом²=100-36=64, ов=√64=8 см. δавк=δсвк. ав=вс ( по условию),  ∠вак=∠вск =30° (углы при основании в равнобедренном треугольнике равны), вк =общая сторона. значит ак=вк. вк -медиана. биссектриса и высота одновременно. ∠авс=180°-30-30=120°.  δвск.  ∠свк=90-30=60°.   точка о делит вк в отношении 2 : 1, значит во=8, ок=4, вк=8+4=12. пусть ск=х,   вк лежит против угла 30°. равен половине гипотенузы, вк=12 см, вс=2·12=24 см. ав=вс=24 см δвск. ск²=вс²-вк²=576-144=432. ск=√432=12√3 см. ответ: 24 см, 24 см, 12√3 см. 2) см.рис. плоскость изображена в виде прямой  α. пусть одна часть равна х, тогда по условию мn=25х, мк=26х. обозначим мn=h. δмnт. h²=мn²-nт²=625х²-196. δмкт. h²=мк²-тк²=676х²-400,правые части обоих равенств равны: 676х²-400=625х²-196, 676х²-625х²=400-196, 51х²=204, х²=204/51=4, х=√4=2 см. есть возможность найти h. h²=625·4-196=2304, h=√2304=48 см. ответ: 48 см.