Отрезок прямой, заключенный между двумя параллельными плоскостями равен 4 см. найдите проекции этого отрезка на плоскости, если прямая составляет угол с плоскостями 30 градусов.

пускай прямая пересекает плоскости в точках а и b, а ас - проекция отрезка аb на плоскость. тогда получается прямоугольный треугольник, у которого угол с = 90 градусов.

по условию угол bас = 30 градусов, тогда

откуда

1) при пересечении двух прямых образуются четыре угла: пара смежных и пара вертикальных. смежный с углом в 113° равен 180°-113°=67°. ответ: при пересечении двух прямых в нашем случае образуются два угла по 113° и два угла по 67°. 2) смежные углы в сумме равны 180°, значит х+8*х=180°, откуда х=20°.   ответ: углы равны 20° и 160°. 3) угол, образованный углом в 84° и продолжением одной из его сторон, является смежным и равен 180°-84°=96°. следовательно, биссектриса угла в 84° с продолжением одной из его сторон составляет угол равный 96°+42°=138°.

этот угол можно найти двумя способами:

а) ,

б) векторным.

а) при этом способе делаем перенос отрезка вм в общую точку с отрезком в1с, а именно точкой в в точку с и это будет общая точка с.

получаем треугольник в1см. находим длины его сторон.

в1с = √(9 + 25) = √34,

см = √(4² + (3/2)² + (5/2)²) = √(16 + 2,25 + 6,25) = √24,5.

в1м = √(4² + (3+(3/2))² + (5/2)²) = √(16 + 20,25 + 6,25) = √42,5 .

угол с (общая точка двух отрезков) находим по теореме косинусов.

cos с = ((b1c)² + cm² - (b1m)²)/(2*{b1c|*|cm|).

подставив значения, получаем cos c = 0,277184.

угол с равен 1,289935 радиан или 73,907817 градуса.

б) поместим параллелепипед точкой в в начало координат, ав по оси ох, вс - по оси оу.

координаты точек:

в1(0; 0; 5), с(0; 3; 0), вектор в1с(0; 3; -5), модуль √34.

в(0; 0; 0), м(4; 1,5; 2,5), вектор вм(4; 1,5; 2,5, модуль √24,5.

cos c = |(0 + 4.5 + (-12.5)|/(√34*√24.5) = 0,277184.

угол равен 1,289935 радиан или 73,907817 градуса.