Площадь равнобедренного равна 60см2, а основание 10 см. найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Пусть  в  треугольннике  авс   ав  =  вс   ас  =  10см     sтреуг.  =  60см^2 r    радиус  вписанной  окружности       высота     h  =  вд s  =  p*r     p  =  (ав  +  вс  +  ас)/2    полупериметр          r  =  s/p s  =  1/2ас*вд   >   вд  =  2s/ас  =  2*60/10  =  12(см) из  прямоугольного  треугольника  авд  найдём  гипотенузу  ав ав  =  v(ад^2  +  вд^2)  =  v(5^2  +  12^2)  =  v169  =  13(см) р  =  (13  +  13  +  10)/2  =  36/2  =  18(см) r  =  s/p  =  60/18  =  3 1/3(см)

1) площадь треугольника авс= половине произведения стороны ас на высоту вн и равна 60, откуда высота вн = 12. 2) треугольник внс прямоугольный и по теореме пифагора находим гипотенузу вс = 13. 3) т.к. окружность вписанная, то нс=ск=5 как отрезки касательных, проведенных из одной точки, тогда кв = 13-5=8. 4) вс - касательная к окружности, поэтому ок=r перпендикулярен вс. и треугольник вок прямоугольный и по теореме пифагора (12 - r )^2=r^2+8^2 откуда   r = 10/3

)

\vec{AB}-\vec{DC}+\vec{BC} =\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD} =\vec{AD}AB−DC+BC=AB+BC+CD=AD

Воспользовались переместительным законом, также тем, что \vec{XY}=-\vec{YX}XY=−YX и правилом многоугольника: \vec{XX_1}+\vec{X_1X_2}+...+\vec{X_{n-1}X_n} =\vec{XX_n}XX1+X1X2+...+Xn−1Xn=XXn

2)

\begin{gathered}\vec{AD}-\vec{BA}+\vec{DB}+\vec{DC}=\vec{AD}+\vec{DB}-\vec{BA}+\vec{DC} ==\vec{AB}+\vec{AB}+\vec{DC} =2\vec{AB}+\vec{AB}=3\vec{AB}\end{gathered}AD−BA+DB+DC=AD+DB−BA+DC==AB+AB+DC=2AB+AB=3AB

Использовали те же факты, что в первом пункте и не только. Так, например \vec{AB}=\vec{DC}AB=DC поскольку AB║DC, как противоположные стороны параллелограмма, по тем же соображениям AB=DC и векторы направлены в одну сторону (т. A и т. D лежат в одной полуплоскости от BC).

3)

\begin{gathered}\vec{AB}+\vec{CA}-\vec{DA}=\vec{DC}+\vec{CA}+\vec{AD}==\vec{AD}+\vec{DC}+\vec{CA}=\vec{AA} =0\end{gathered}AB+CA−DA=DC+CA+AD==AD+DC+CA=AA=0

Использовали всё то, что было во втором пункте (например \vec{AB}=\vec{DC}AB=DC ) и ещё определение нулевого вектора: вектор начало и конец которого в одной точке.

ответы:

1)\vec{AD};\; 2)\,3\vec{AB};\; 3)\,0.1)AD;2)3AB;3)0.

Коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам  и есть координаты вектора)) обозначим координаты:   (вектор)a{ax; ay; az} (вектор)b{bx; by; bz} получим: (вектор)(a+b){ax+bx; ay+by;   az+bz} =  (вектор)(a+b){6.6; -3.1;   4.2} (вектор)(a-b){ax-bx; ay-by;   az-bz} =  (вектор)(a-b){-9.8; 8; 4.5} имеем систему уравнений: ax+bx = 6.6 ax-bx = -9.8 > 2*bx = 6.6+9.8 > bx = 8.2 ay+by = -3.1 ay-by = 8 > 2*by = -3.1-8 > by = -5.55 az+bz = 4.2 az-bz = 4.5 > 2*bz = 4.2-4.5 > bz = -0.15 модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его  |b| =  √(67.24+30.8025+0.0225) =  √98.065  ≈ 9.9