Дан куб abcda1b1c1d1 с ребром 1. найдите расстояние от вершины а до плоскости а1вт, где т-середина ребра аd

Обычным методом (не координатным)  тут надо немного потрудиться : ) пирамида a1bta имеет объем v =  aa1*ab*at/6 = 1/12; если найти площадь треугольника a1tb, то и высота пирамиды к этой грани найдется : ). эту площадь легче всего искать так. пусть м - середина а1в =  √2, поскольку a1t = bt, то тм - высота а1вт к а1в. тм находится из треугольника мат, ат = 1/2; ma =√2/2; => мт =  √3/2;   площадь а1вт = s =  а1в*тм/2 =  √2*√3/4 =  √6/4; отсюда h = 3*v/s = (3/12)/(√6/4) = 1/ √6; для сравнения - координатный метод дает ответ сам собой . уравнение плоскости 2x+y+z =1 пишется сразу (это уравнение плоскости "в отрезках", как оси расположены - очевидно - ad это ось  x и так далее); ортогональный вектор (2,1,1) имеет норму √6; то есть уравнение плоскости имеет вид nr = 1/√6; где r = (x,y,z); единичный вектор нормали n = (2/√6, 1/√6, 1/√6); в правой части стоит искомое расстояние от начала координат - точки а (0,0,0) до плоскости.

1) каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. значит, расстояние от т. о до mn=9 надеюсь, техникой построения при циркуля и линейки отрезков, углов, параллелных прямых, перпендикуляров и биссектрисс владеешь? если нет- читать дальше нет смысла, нужно учиться это делать. 2)пусть нужно построить прямоугольный треуг авс, где с будет прямой угол       а) строим прямую, на ней отмечаем гипотенузу ав       б) от прямой откладываем данный угол с вершиной в т. в       в) из т. а проводим перпендикуляр к другому лучу     точка пересечения будет т.с    все. 3) решений этой несколько и все интересные и простые.     вот одно из них.       а) проведи прямую и поставь т.о     б)  начерти окружность любого радиуса с центром в т.о           точки пересечения прямой и окружности обозначь а и в.    ав- диаметр.     в) из т. в раствором циркуля равным радиусу поставь засечку на окружности - т.с         получился прямоуг. треугольник у авс, (с=90).у  которого катет в 2 раза меньше гипотенузы, значит, угол а=30     г) продли отрезок са дальше, поставь т. д тогда угол дав=180-30=150 все.

Все грани куба– квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, b1d1⊥a1c1. b1d1– проекция наклонной b1d. по теореме о трех перпендикулярах b1d ⊥ a1c1 треугольник a1bc1– равносторонний, проведем высоту вк (к– точка пересечения диагоналей) b1d пересекается с кв в точке м. треугольники кв1м и dbm подобны по двум углам. (см. рисунок) d1b1=db=√2 kb1=√2/2 по теореме пифагора b1d=√3 kb=√(3/2) km: mb=1: 2 km: ((√3/2)–kb)=1: 2 kb=√6/6 b1m: md=1: 2 b1m: (√3– b1m)=1: 2 b1m=√3/3 в треугольнике в1км b1k²=b1m²+mk² 1/2=(1/3)+(1/6) треугольник прямоугольный угол b1mk– прямой итак, b1d– перпендикулярна двум пересекающимся прямым а1с1 и bk, значит перпендикулярна плоскости а1вс1.