Дан треугольник авс, площадь которого равна 1. на медианах ак, вl, сn треугольника авс взяты соответственно точки р, q, r так, что ар/рк=1; вq/ql=1/2; cr/rn=5/4. найти spqr

Площадь треугольника можно вычислить разными способами.  способ 1.  по ф.герона: s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника, a, b и с - его стороны.    р-(37+37+24): 2=49 s=√[49•12•12•25]=7•12•5= 420 (ед. площади) способ 2.  опустим высоту на основание. высота равнобедренного треугольника, проведенная между равными сторонами, делит его на два равных прямоугольных, в которых боковые стороны треугольника - гипотенузы, высота и половина основания - катеты.   тогда по т.пифагора h=√(37²-(24/2)²)= 35 s=h•a/2=35•24/2= 420 (ед. площади).

1. пусть  апофема l и угол между апофемой и плоскостью основания в 30° тогда проекция апофемы на плоскость основания, она же равна радиусу вписанной в основание окружности, r = l*cos(30°) = l√3/2 радиус вписанной окружности равностороннего треугольника (см рисунок) относится к половине основания пирамиды как tg(30) r/(a/2) = tg(30°) = 1/√3 2r√3=a 2*l√3/2*√3=a 3l = a l = 1/3a апофема равна одной трети основания площадь боковой поверхности s = 3*1/2*l*a = 1/2 a^2 = 50 см^2 1/2 a^2 = 50 a^2 = 100 a = 10 см 2 длина малой диагонали основания по теореме косинусов l^2 = 1^2+(2√2)^2-2*1*2√2*cos(45) = 5 l =  √5 если наименьшее диагональное сечение опирается на эту диагональ то высота параллелепипеда l*h =  √15 h =  √3 объём параллелепипеда v=1*2√2*sin(45)*h = 2√3