Существует ли двузначное число, которое в системах с основаниями p=6 и q=8 записывается одними же цифрами, но в обратном порядке? ответ обоснуйте.

Нет

вот код Ruby

for i in "10".to_i(8).."55".to_i(6)
    p [i, i.to_s(6),i.to_s(8)]
end

вывод (в 10чной, 6чной, 8чной)

[8, "12", "10"]
[9, "13", "11"]
[10, "14", "12"]
[11, "15", "13"]
[12, "20", "14"]
[13, "21", "15"]
[14, "22", "16"]
[15, "23", "17"]
[16, "24", "20"]
[17, "25", "21"]
[18, "30", "22"]
[19, "31", "23"]
[20, "32", "24"]
[21, "33", "25"]
[22, "34", "26"]
[23, "35", "27"]
[24, "40", "30"]
[25, "41", "31"]
[26, "42", "32"]
[27, "43", "33"]
[28, "44", "34"]
[29, "45", "35"]
[30, "50", "36"]
[31, "51", "37"]
[32, "52", "40"]
[33, "53", "41"]
[34, "54", "42"]
[35, "55", "43"]

аналитическое решение

8*a+b = 6*b+a  ОДЗ: a in (1;7) in N, b in (1;5) in N
7a=5b
a = 5b/7 - наименьшее целочисленное решение при b = 7 что не входит в ОДЗ

#include <iostream>

typedef long long   ll;

using namespace std;

bool ll_is_valid(ll t, ll N, ll x, ll y)

{

return  t / x + (t - x) / y >= N;

}

ll f(ll N, ll x, ll y)

{

   ll R = 1;

   while (!ll_is_valid(R,N,x,y)) R *= 2;

ll L = R / 2;

while(R - L > 1)

{

 ll M   =   (L + R) / 2;

 

 if (!ll_is_valid(M,N,x,y)) {L = M;}

 else {R = M;}

}

return  R;

}

int  main()

{

ll N,x,y;

cin >> N >> x >> y;

if(x > y) swap( x, y );  

cout << f(N, x, y) <<  std::endl;

}

// PascalABC.NET 3.0, сборка 1128
begin
  var a:=ArrRandom(20,-10,19);
  a.Println(','); // 1
  var b:=ReadArrInteger('Введите 10 целых чисел',10); // 2
  Writeln('Количество положительных элементов ',
    a.Where(x->x>0).Count); // 3
  for var i:=0 to 19 do
    if a[i]<0 then a[i]:=0;
  Writeln('Массив А после замены отрицательных'); a.Println(','); //4
  Writeln('Сумма положительных элементов ',
    a.Where(x->x>0).Sum) // 5
end.

Тестовое решение:
14,8,9,-5,6,3,3,-10,-8,18,7,13,2,17,-1,0,4,-3,8,-8
Введите 10 целых чисел -5 0 13 -7 -14 11 8 19 -3 -1
Количество положительных элементов 13
Массив А после замены отрицательных
14,8,9,0,6,3,3,0,0,18,7,13,2,17,0,0,4,0,8,0
Сумма положительных элементов 112