178 (10) = х(2) перевести из десятичной в двоичную

178_10 = 10110010_2
(нижнее подчеркивание - обозначение системы счисления)

Месяц находим методом половинного деления.

Двоичная запись числа 366 размещается в 9 битах (в 8 битах размещается только 256 чисел , а в 9 битах - уже 512).

То есть , понадобится задать 8 вопросов и девятой фразой будет ответ.

В году 365 (366) дней. Пусть 366, для 365 рассуждение то же.

Рассмотрим самый худший вариант

Середина года - день номер 366/2=183. Это 1 июля.

Первый вопрос: День рождения в первой половине года?

Допустим, да.

Второй вопрос: День рождения в первом квартале?

Допустим, нет. Следовательно во втором.

Второй квартал - это дни с номерами от 92 до 182. Середина - среднее арифметическое. (92+182)/2=137. Это дата 17 мая.

Третий вопрос: День рождения позднее 17 мая?

Допустим, нет.

Следовательно, интервал дат 1 апреля - 17 мая, 91 день. Опять делим на 2, сужая интервал до 22 дней. Это дата 22 апреля.

Четвертый вопрос: День рождения позднее 22 апреля?

Допустим, нет.

Новый диапазон поиска - 23 апреля - 17 мая. Половиним его.

Пятый вопрос: День рождения позднее 29 апреля?

Допустим, нет.

Поиск сузился до 23 - 29 апреля. Снова берем половину.

Шестой вопрос: День рождения позднее 26 апреля?

Допустим, нет.

Интервал дат 23-26 апреля. Половиним.

Седьмой вопрос: День рождения позднее 24 апреля?

Допустим, да.

Интервал дат 25-26 апреля.

Восьмой вопрос: День рождения 25 апреля?

Допустим, нет

Девятая фраза: Ваш день рождения 26 апреля.

Длина исходной цепочки символов 61428 равна 5. Она нечетна, значит, из строки удаляем последний символ. Получилось 6142. 
Переставляем символы в обратном порядке. Получилось 2416.
Приписываем справа к цепочке эту же цепочку. Получилось 24162416.
Последний символ цепочки 6 - четная цифра, значит, удаляем его. Получилось 2416241.
Длина исходной цепочки символов 2416241 равна 7. Она нечетна, значит, из строки удаляем последний символ. Получилось 241624.
Переставляем символы в обратном порядке. Получилось 426142.
Приписываем справа к цепочке эту же цепочку. Получилось 426142426142.
Последний символ цепочки 2 - четная цифра, значит, удаляем его. Получилось 42614242614.