Поместить в хеш таблицу 5 книг, любым другим числовым быть готовым объяснить принцип работы метода.

Программа на питоне, перебирающая варианты и возвращающая все ответы минимальной длины:
def number_of_adds(n):
  def next_seq(seq):
    new_elems = set()
    for i in range(len(seq)):
      for j in range(i, len(seq)):
        new_elem = seq[i] + seq[j]
        if new_elem > seq[-1] and new_elem not in new_elems:
          new_elems.add(new_elem)
          yield seq + [new_elem]
  
  current_stage = None
  next_stage = [[1]]
  answer = []
  while len(answer) == 0:
    current_stage = next_stage
    next_stage = []
    for chain in current_stage:
      next_stage.extend(next_seq(chain))
    answer = [seq[1:] for seq in next_stage if seq[-1] == n]
  return answer
    
def print_solution(n):
  answer = number_of_adds(n)
  print("Для {} есть {} решений(-я, -е):".format(n, len(answer)))
  for i in range(len(answer)):
    print("{}. {}".format(i + 1, " ".join(map(str, answer[i]
  print()

print_solution(27)

Запустив, находим, что необходимо 6 сложений. За 6 сложений можно получить 27X, например, так:
X + X = 2X
2X + X = 3X
3X + 3X = 6X
6X + 6X = 12X
12X + 12X = 24X
24X + 3X = 27X

1)

1 + «Кнопка 5» = 6 этаж

6 + «Кнопка -3» = 3 этаж

3 + «Кнопка 5» = 8 этаж

8 + «Кнопка -3» = 5 этаж

5 + «Кнопка -3» = 2 этаж

2 + «Кнопка 5» = 7 этаж

7 + «Кнопка -3» = 4 этаж

4 + «Кнопка 5» = 9 этаж

2)

Боря мог выиграть все 9 раз:

1. 3 раза Боря показал камень, Алёша – ножницы

2. 4 раза Боря показал ножницы, Алёша – бумагу

3. 2 раза Боря показал бумагу, Алёша – камень

Алёша мог выиграть не более 7 раз:

1. Алёша показывает камень, Боря показывает ножницы – 2 раза. - победа

2. Алёша показывает ножницы, Боря показывает бумагу – 2 раза. - победа

3. Алёша показывает бумагу, Боря показывает камень – 3 раза. - победа

4. Алёша показывает бумагу, Боря показывает ножницы – 1 раз. - поражение

5. Алёша показывает ножницы, Боря показывает ножницы – 1 раз. – поражение

Результат:

Боря мог выиграть 9 раз.

Алёша мог выиграть 7 раз.

3)

Камнев – К, Ножницын – Н, Бумагин - Б

1. Перевезти баулы К

2. Перевезти каждый баул Н по очереди с Н в лодке, баулы оставить, Н вернуть.

3. Перевезти каждый баул Б по очереди с Б в лодке, баулы оставить, Б вернуть.

4. Перевезти Б, Н и К

4)

Для каждой гирьки есть 3 возможных расположения: чаша с грузом (-1), противоположная чаша (1) или вообще не ставить (0). Расположение каждого груза можно выбирать независимо, поэтому если есть n грузов, то их можно разместить Исходя, из этого 3^2<10<3^3, 2 гирьки - как минимум 1 значение останется без решения, 3 гирьки - как минимум 1 будет иметь несколько решений. Оптимальным набором гирек является тот, который содержит в себе степени какого либо числа: Степени двойки не подходят потому как не используют обе части весов; Тройки же подходят, поскольку гири располагаются на разных чашах весов, то их вес относительно взвешиваемого груза может принимать и положительное, и отрицательное значение.

Если, к примеру, нужна гиря весом в 2 единицы, то нужно на чашу весов с грузом положить гирю с весом 1, а на противоположную с весом 3. Вес 1 вычитается из 3 и результат 2. Таким образом можно взвесить любую массу от 1 до 10.

Возьмем 3 гирьки массой: 1, 3, 9 (степени тройки)

Цифра со знаком «-» будет соответствовать гирьке на другой чашке весов.

Уравновешивания всех масс от 1 до 10:

1 = 1.

2 = 3 - 1,

3 = 3,

4 = 3 + 1,

5 = 3 + 3 - 1,

6 = 3 + 3,

7 = 9 - 1 - 1,

8 = 9 - 1,

9 = 9,

10 = 9 + 1

5)

Допустим, минимальное количество шагов получится если постоянно удваивать максимальное значение:

1) Х+Х=2Х 2) 2Х+2Х=4Х 3) 4Х+4Х=8Х(8X+8X>15X) 4)8Х+4Х=12Х 5)12Х+2Х=14Х 6)14Х+Х=15Х – 6 шагов

Иначе, получить максимальное кратное число (неравное 15): 1, 3, 5 – максимальное 5.

Что бы его получить нужно сделать как минимум 3 операции:

1) Х+Х=2Х 2) 2Х+2Х=4Х 3) 4Х+Х=5Х

Или

1) Х+Х=2Х 2) 2Х+Х=3Х 3) 3Х+2Х=5Х

Теперь, нужно сделать (15/5)-1 операций для получения самого числа

4) 5Х+5Х=10Х 5) 10Х+5Х=15Х

ответ(5 шагов):

1) Х + Х = 2Х

2) 2Х + Х = 3Х

3) 3Х + 2Х = 5Х

4) 5Х + 5Х = 10Х

5) 10Х + 5Х = 15Х