Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А (3x + 5y меньше А) дизъюнкция( x больше или равно y)дизъюнкция ( больше 8)тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

 

(3x + 5y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 8)

 

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решение.

Решим задачу графически. Условия (x ≥ y) и (y > 8) задают множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямая 3x + 5y = A должна проходить выше точки (8; 7). Таким образом, наименьшее целое неотрицательное А, удовлетворяющее условию задачи — это A равное 62.

 

Приведем аналитическое решение.

Если истинно одно из выражений (x ≥ y) или (y > 8), то выражение (3x + 5y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 8) истинно независимо от значения А.

Если же оба выражения (x ≥ y) и (y > 8) ложны, то есть при выполнении условий (x < y) и (y ≤ 8), выражение 3x + 5y < A должно быть истинным.

Найдем максимально возможное значение выражения 3x + 5y при выполнении условий (x < y) и (y ≤ 8).

Заметим, что для целых чисел неравенство (x < y) равносильно неравенству (x ≤ y-1). Тогда

 

3x+5y ≤ 3(y-1) + 5y = 8y – 3 ≤ 64 – 3 = 61.

 

Таким образом, должно выполняться условие 61<А, откуда А=62.

 

ответ: 62.

Объяснение: