Задача A. Задача из ЕГЭ Вася готовится к ЕГЭ по информатике и тренируется решать 23 задачу. Он нашел много вариантов этой задачи, но не нашел к ним ответов. Во всех найденных вариантах задачах формулируется одинаково, отличаются только числа: Исполнитель преобразует число на экране. У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера: 1. Прибавить 1 2. Умножить на k Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на k. Программа для исполнителя это последовательность команд. Сколько существует программ, для которых при исходном числе 1 результатом является число p, и при этом траектория вычислений содержит число q? Траектория вычислений программы это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 121 при k = 3 траектория будет состоять из чисел 2, 6, 7. Васе найти правильные ответы. В первой строке входных данных записано число t количество различных вариантов задачи. В следующих t строках записаны тройки чисел p, q, k. ответ для каждого варианта выведите в отдельной строке. В первом тесте t = 3. Оценка за этот тест: За каждую правильно подсчитанное число программ начисляется Проверка осуществляется в режиме online (результат виден сразу Во втором тесте t = 70. Оценка за этот тест: За каждую правильно подсчитанное число программ начисляется Во время тура проверяется, что сданный файл содержит 70 чисел. Проверка правильности ответа осуществляется в режиме oine (результат виден после окончания тура). Примеры: 2 20 10 2 20 10 3 ответ на тест: 28 5

Алгоритм. Отсортируем массив за O(nlogn). Запустим цикл по всем k, в теле цикла будем искать индексы i <= j, такие, что A[i] + A[j] = -A[k]. Понятно, что этот поиск надо делать за O(n), чтобы общее время работы было квадратичным.

Искать будем с двух указателей. Рассмотрим кусок массива, в котором ищем ответ A[l..r] (первоначально l = 1, r = n). Посмотрим на A[l] + A[r]. Если эта сумма больше, чем нужно, уменьшим на 1 число r, если меньше - увеличим на 1 число l, если равно -A[k] - победа, выводим ответ (l, r, k). Будем повторять это в цикле, пока l не станет больше r.

Если после выполнения цикла по k искомая тройка так и не нашлась, пишем "нет".

Корректность. Пусть в какой-то момент A[l] + A[r] < -A[k]. Тогда, чтобы иметь возможность получить A[i] + A[j] = -A[k], надо сумму увеличить. A[l] оказалось настолько мало, что даже если прибавить к нему самое большое возможное число (а это как раз A[r] - массив-то отсортирован!), то всё равно получается слишком мало. Значит, A[l] в ответе не будет, и можно безбоязненно выкинуть его из рассмотрения. Аналогично будет и в случае, когда A[l] + A[r] > -A[k].
Осталось показать, что если такая тройка индексов существует, то наш алгоритм не выдаст неверный ответ "нет". Но это очевидно: если ответ (I, J, K), то уж при k = K алгоритм что-нибудь да найдёт.

Время работы. Внутренний цикл выдает ответ не более чем за линейное время: всякий раз размер массива уменьшается на 1, всего элементов в массиве n, а на каждом шаге тратится константное время; пусть время выполнения внутреннего цикла T'(n) < an. Тогда все n проходов внешнего цикла затратят время T1(n) <= n T'(n) < an^2.
Сортировку можно сделать за время T2(n) < b nlogn < bn^2
Общее время работы T(n) = T1(n) + T2(n) < an^2 + bn^2 = cn^2