Оксид железа (III) обработали галогеноводородной кислотой, являющейся сильнейшим восстановителем. В полученный раствор добавили гидроксид калия, выпал бурый осадок. При нагревании с концентрированным раствором гидроксида калия этот осадок растворился. Когда через полученный раствор пропустили углекислый газ, опять выпал бурый осадок. Запишите уравнения описанных реакций.

Сильнейший галоген - восстановитель - это йод, соответственно, это иодоводородная кислота HI.
Но при взаимодействии с Fe2O3 образуются FeI2 (FeI3 не существует, он распадается на FeI2 и I2), I2 и вода, и если далее мы добавим KOH, то ничего бурого там не выпадет. Соответственно, допустим, что взяли кислоту HCl. тогда:
Fe2O3 + 6HCl = 2FeCl3 + 3H2O
Далее по условию добавляют KOH:
FeCl3 + 3KOH = Fe(OH)3 + 3KCl
Fe(OH)3 - бурый осадок.
При взаимодействии Fe(OH)3 с KOH образуется гексагидроксоферрат (III) калия
Fe(OH)3 + 3KOH = K3[Fe(OH)6]
Далее при добавлении к этому соединению CO2 выпадет бурый осадок Fe(OH)3
2K3(Fe(OH)6) + 3CO2 → 2Fe(OH)3 + 3K2CO3 + 3H2O
Не могу сказать, что HCl - это сильнейший восстановитель, это HI, но с йодоводородной кислотой просто не получится удовлетворить условия данной задачи, так как иначе будут противоречия, которые я описал в самом начале.

Недостаточное поступление в организм белка приводит к замедлению роста и развития детей, у взрослых - к нарушениям деятельности желез внутренней секреции, к изменениям в печени, изменениям гормонального фона, нарушениям выработки ферментов, вследствие чего, ухудшению усвоения питательных веществ, многих микроэлементов, полезных жиров, витаминов. Кроме того, дефицит белка ухудшению памяти, снижению работо ослаблению иммунитета из-за снижения уровня образования антител, а также сопровождается авитаминозом. Недостаточное потребление белка приводит к ослаблению сердечной и дыхательной системы, потере мышечной массы.

Основные-реагируют с избытком кислоты с образованием соли и воды.Основным оксидам соответствуют основания.
1.Взаимодействие с водой(оксиды щелочных и щелочноземельных мет.) 
CaO+H2O=Ca(OH)2
2.Все-с кислотами 
МgO+2HCl=MgCl2+H2O
3.С кислотнями оксидами 
CaO+CO2=CaCO3
4.С амфотерными оксидами
Li2O+Al2O3=2LiAlO2

Амфотерные (ZnO, Al2O3,Cr2O3, MnO2 )
1.Взаимодействуют как с кислотами, так и с основаниями.
ZnO+2HCl=ZnCl2+H2O
ZnO+2NaOH+H2O=Na2[Zn(OH)4]

2.Реагируют с основными и кислотными оксидами 
ZnO+CaO=CaZnO2
ZnO+SiO2=ZnSiO3

Кислотные-реагируют с избытком щелочи с образованием соли и воды. Кислотным оксидам часто соответствуют кислоты.
1.Большинство взаимодействуют с водой
SO3+H2O=H2SO4

2.Со щелочами
NaOH+SiO2=Na2SiO3+H2O

3.С основными оксидами
SiO2+CaO=CaSiO3

4.С амфотерными оксидами
Al2O3+3SO3=Al2(SO4)3