Найти градиент функции z=f(x, y) в точке a и производную этой функции в направлении вектора ab в точке a. постройте линию уровня функции z=f(x, y), проходящую через точку a, и найденный градиент с началом в точке a z=-x^2/4-y^2 a(3; 2) b(6; -2)

Пример №1 . дана функция z=z(x,y), точка a(x0,y0) и вектор a. найти:   1) grad z в точке а; 2) производную данной функции в точке а в направлении вектора a. решение.  z = 5*x^2*y+3*x*y^2градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: находим частные производные: тогда величина градиента равна: найдем градиент в точке а(1; 1)илимодуль grad(z): направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами: найдем производную в точке а по направлению вектора а(6; -8).найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: для вектора a имеем: если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. пример №2. даны z=f(x; y), а(х0, у0).  найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке а.  б) производную в точке а по направлению вектора а. пример №3. найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора  l(1; 2).  z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x решение.  градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:   находим частные производные: тогда величина градиента равна: найдем производную в точке а по направлению вектора а(1; 2).  найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы:   для вектора a имеем:     если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает. пример №4. дана функция  . найти:   1)  gradu  в точке  a(5; 3; 0);   2) производную в точке  а  в направлении вектора  .  решение.  1.  .  найдем частные производные функции  u  в точке  а.  ; ;   ,  .  тогда    2. производную по направлению вектора  в точке  а  находим по формуле  .  частные производные в точке а нами уже найдены. для того чтобы найти  , найдем единичный вектор    вектора  .  , где  .  отсюда  . пример №5. даны функция  z=f(x), точка  а(х0, у0)  и вектор  a. найти: 1)  grad z  в точке  а; 2)  производную в точке  а  по направлению вектора  a.  решение.  находим частные производные: тогда величина градиента равна: найдем градиент в точке а(1; 1)илимодуль grad(z): направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами: найдем производную в точке а по направлению вектора а(2; -5).найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: для вектора a имеем:   поскольку  ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

пускай изначально дробь была равна х , чтобы перенести запятую вправо , нужно умножить дробь на 10 , то дробь стала 10 х. составим уравнение :     10х - х= 32,13

                                            9х = 32,13

                                                х= 32,13 : 9

                                                  х =3,57 такою была дробь

проверка : 3,57 8 10 =35,7

                                    35,7 - 32,13 = 3,57

ответ 3,57

пусть наименьшая скорость, т.е. скорость автобуса равна х, то:

                        скорость                                  время                                    расстояние

автобус                     х                                                                3 ч                                                              (х · 3) км

поезд                          3х                                                              3 ч                                                              (3х · 3) км

 

составим уравнение по краткой записи, учитывая, что всё расстояние равно 390 км:

3х +3х · 3 = 390

3х + 9х = 390

12х = 390

х = 32,5 (км/ч) - скорость автобуса

 

подставим значение х в выражение скорости поезда (см. в краткой записи):

32,5 ·3 = 97,5 (км/ч)

 

ответ: скорость поезда - 97,5 км/ч.